Entiende el código correctamente previamente a utilizarlo a tu proyecto si ttienes algo que aportar puedes decirlo en los comentarios.
Solución:
Para complementar la respuesta de Dirk:
Tu inversión de la diferenciación no puede funcionar así. Hay una familia de funciones que se diferencian por las constantes aditivas y todas tienen la misma derivada. Sus transformadas de Fourier difieren en deltas en el origen (proporcional a las constantes aditivas), por lo que no puede ser que obtengas la transformada de Fourier de todas ellas dividiendo la transformada de la derivada por $mathrm iomega$ .
El problema es que multiplicar por $mathrm iomega$ multiplica por $0$ en el origen y, por lo tanto, aniquila cualquier delta que pueda estar allí, y no se puede reconstruir dividiendo por $mathrm iomega$. Lo que obtienes al dividir por $mathrm iomega$ (si interpretas el polo apropiadamente) es la única función con esa derivada con promedio cero. En su caso, sería una función de paso que salta de $-1/2$ a $1/2$.
He aquí otra forma de verlo: la función
$$H_alpha(t)=begincasosmathrm e^-alpha t&tge0\0&tlt0endcasos$$
definida en la nota Dirk vinculada a decae en el infinito y converge a la función de Heaviside puntualmente como $alphato0$. Su transformada de Fourier es $hat H(omega)=1/(alpha+mathrm iomega)$, que converge a $1/(mathrm iomega)$ puntualmente como $alphato0$, excepto en $omega=0$. Lo que está haciendo corresponde a establecer directamente $alpha$ en cero y usar el límite de puntos como la transformada de Fourier. Sin embargo, eso ignora el hecho de que mientras la parte imaginaria va a $1/(mathrm iomega)$, la parte real tiene un pico en el origen, que se vuelve más estrecho como $alphato0$ pero cuya integral es independiente de $alfa$:
$$ beginalign int_-infty^inftyfrac1alpha+mathrm iomegamathrm domega &=int_0^inftyleft(frac1 alpha+mathrm iomega+frac1alpha-mathrm iomegaright)mathrm domega \ &=int_0^inftyfrac2alphaalpha ^2+omega^2mathrm domega \ &=2left[arctanfrac omegaalpharight]_0^infty \ &=pi;. endalinear $$
Es este pico de tamaño $pi$ lo que está dejando caer cuando usa el límite de puntos, que tiene un promedio de $0$ (si interpreta el polo correctamente).
Bueno, la transformada de Fourier de la función heaviside casi siempre genera confusión. En lugar de una respuesta, me gustaría señalarle la bonita nota La transformada de Fourier de la función de Heaviside: una tragedia de Ed Buehler que, con suerte, responderá a su pregunta.
$ displaystyle fracdoperatorname u(t)dt=delta(t)\ rightarrowmathcal F fracdoperatorname u(t)dt=mathcal F delta (t)\ rightarrow jomega hat operatorname u (omega) = 1\ rightarrow hat operatorname u (omega) = left.frac1j omega right|_omegane 0 + left.hat operatorname u(omega)right|_omega=0\ left.hat operatorname u(omega)right|_omega=0=mathcalFoperatornameDC(u(t))=mathcalFfrac 12=frac 12 mathcalF 1=frac 12 2piδ(ω)=piδ(ω)\ rightarrow hat operatorname u (omega) = frac 1 jomega + piδ(ω) $
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