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Solución:
Sea $frakm$ un elemento maximal en $Sigma$. Queremos demostrar que es primo, es decir, que si $xnotinfrakm$ y $ynotinfrakm$, entonces $xynotinfrakm$.
Si $xnotinfrakm$ y $ynotinfrakm$, entonces $frakm+(x)$ y $frakm+(y) $ son ideales de $A$ que contienen estrictamente $frakm$ y, por lo tanto, cada uno debe contener divisores distintos de cero ($frakm$ es el máximo entre los ideales que consisten solo en divisores cero, por lo que cualquier ideal que contiene estrictamente $frakm$ no puede consistir solo en cero-divisores). Por lo tanto, el ideal $(frakm+(x))(frakm+(y))subseteqfrakm+(xy)$ contiene divisores distintos de cero (porque hay al menos un divisor distinto de cero en cada uno de $frakm+(x)$ y $frakm+(y)$, y el producto de dos no- divisores cero es un divisor distinto de cero). Pero el hecho de que $frakm+(xy)$ contenga divisores distintos de cero implica que $frakm+(xy)$ contiene estrictamente $frakm$, por lo tanto $ xynotinfrakm$. Por lo tanto, $frakm$ es primo.
Insinuación$ $ Los divisores distintos de cero forman un monoide saturado $rm:M:$ (es decir $rm:abin M!iff! aen M:$ & $rm:ben M$) por lo que su complemento es una unión de ideales primos (esto puede probarse por localización o por una prueba elemental directa usando que un máximo ideal frente a la exclusión de un monoide es primo). Para una buena exposición, vea las primeras páginas de Kaplansky: Anillos conmutativos.
Nota$ $ Para generalizaciones, véase Lam y Reyes: Oka and Ako Ideal Families in Conmutative Rings mencionado por Zev, y el artículo revisado a continuación.
Señor 95i:13023 13G05 06F20
Anderson, DD; Zafrullah, Muhammad
Sobre un teorema de Kaplansky.
Cápsula. Naciones Unidas. Estera. italiano A (7) 8 (1994), núm. 3, 397–402.
El complemento de un conjunto saturado multiplicativamente cerrado es una unión de ideales primos (Bourbaki). $ $ Los autores aplican este hecho a una propiedad [I. Kaplansky, Commutative rings, Univ. Chicago
Press, Chicago, IL, 1974; MR 49 #10674]de elementos distintos de cero en un dominio integral tales que los elementos que satisfacen [Reviewed by C. P. L. Rhodes]
forman un conjunto saturado multiplicativamente cerrado. Opciones adecuadas de
caracterizaciones de rendimiento de UFD
, dominios GCD, valoración y dominios Prüfer. Los grupos ordenados de celosía y los grupos de Riesz se caracterizan de manera similar.
- Zbl 816.13001
- Al analizar la prueba del teorema de Kaplansky, que un dominio integral es un dominio de factorización única si y solo si cada ideal primo distinto de cero contiene un ideal primo principal distinto de cero, los autores afirman, dejando la prueba al lector:
- Sea D un dominio integral. Dejar
- ser una propiedad de los elementos en D. Suponga que el conjunto S de elementos distintos de cero en D con
- es un conjunto saturado multiplicativamente cerrado no vacío. Entonces todo elemento distinto de cero en D tiene
[ K.Roggenkamp (Stuttgart)]
si y solo si todo ideal primo distinto de cero contiene un elemento distinto de cero con
. Esta observación se aplica luego a varias situaciones, para caracterizar
dominios integrales que son UFD,
dominios integrales que son dominios de valoración,
dominios integrales que son dominios de Pruefer,
grupos dirigidos parcialmente ordenados que están ordenados en celosía,grupos dirigidos parcialmente ordenados que son grupos de Riesz.Los siguientes pasos conducen a una solución: (1) Si $ainSigma$ no es un ideal primo, mostraremos que $a$ no es un elemento maximal de $Sigma$. Como $a$ no es un ideal primo, existe $x,ynotin a$ tal que $xyin a$. Se puede considerar el $(a:x)=zin A:xzin a$ ideal.(2) Demuestre que $asubseteq (a:x)$ y que esta inclusión es correcta. (3) Demuestre que $(a:x)$ se compone enteramente de cero-divisores. (Pista: si no, entonces existe $zin (a:x)$ tal que $z$ no es un divisor de cero. Deduce que $(a:z)in Sigma$.) (4) Demuestre que $a$ no es máximo. (Pista: la inclusión $asubseteq (a:z)$ es correcta. ¿Por qué?)
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