Posterior a investigar en diferentes repositorios y sitios al terminar hemos descubierto la solución que te enseñaremos más adelante.
Solución:
Insinuación
Primero demuestre por inducción que para cualquier $langle a,brangle$ existe un $ninmathbb N$ tal que $langle a,branglesim langle n,0rangle$ o $ langle a,branglesimlangle 0,nrangle$. Comience con $langle a,0rangle$ y proceda por inducción en $b$.
Supongo que ha probado que $cdot_mathbb Z$ está bien definido. Esa es en realidad una prueba mucho más difícil, en algún nivel.
Esto hace que sus casos sean mucho más claros.
Supongamos que $langle a,b rangle cdot langle c,d rangle = 0_mathbbZ$ y $langle a,brangle neq 0_mathbbZ$. Probamos que $langle c , d rangle = 0_mathbbZ$.
Entonces tenemos $ac + bd = ad + bc$ y $a neq b $ y queremos mostrar que $c=d$.
Como estamos trabajando en los números naturales, no podemos usar la resta, lo que facilitaría la tarea. Pero podemos evitar esta limitación usando la definición de la relación $<$ en $mathbbN$.
Caso 1: $a>b$
Entonces $a = b+k$ para algunos $kin mathbbN$, $k neq 0$.
Entonces $(b+k) c + bd = (b+k) d + bc$.
$Flecha derecha b(c+d) + kc = b(c+d) + kd$
$Flecha derecha kc = kd$
$Flecha derecha c=d$.
Aquí usamos en los dos últimos pasos que los términos y factores se pueden cancelar de ambos lados de una ecuación. Es posible que ya lo haya probado o puede probarlo por inducción.
Caso 2: $a
similar al caso 1.
Si te mola el tema, tienes la opción de dejar un tutorial acerca de qué le añadirías a esta sección.