Tenemos la respuesta a este inconveniente, o por lo menos eso creemos. Si presentas inquietudes puedes escribirlo en el apartado de preguntas, que sin dudar
Solución:
La respuesta es el número de cuadrados perfectos menor que igual al número dado, ya que sabemos que los cuadrados perfectos tienen un número impar de divisores. El número de divisores de cualquier número se puede calcular descomponiéndolo en factores primos. Si $n=p_1^e_1p_2^e_2ldots p_n^e_n$ entonces el número de divisores es $(e_1+1)(e_2+1)ldots(e_n+1)$. Sea $n = a^2$, entonces si $d$ es un factor entonces también lo es $fracnd$. Así vemos que los factores están en pares excepto a porque $fracna = a$. Por lo tanto, el número total de factores es $2x+1$, donde $x$ es el número de factores menor que $a$. Así que un número impar de factores.
Son los cuadrados por lo que la respuesta es $lfloor sqrt1000 rfloor = 31$. Para ver esto fíjate que el número de divisores de un número es el producto de cada exponente más uno, es decir $n = prodp_i^e_i$ y $tau(n) = prod{(e_i+1 PS Si $tau(n)$ es impar, entonces todos los $e_i$ son pares, lo que significa que $n$ es un cuadrado.
Si permitimos la división por 1 y por el propio número, entonces todos los números primos tienen exactamente dos divisores, por lo que podemos descontar todos los números primos.
Ahora considere los números compuestos que no son un cuadrado perfecto, digamos 6. Esto es 1×6 o 2×3, por lo que también podemos descontarlos.
Finalmente consideramos los números compuestos que son cuadrados perfectos, digamos 4. Esto es 1×4 o 2×2. Por lo tanto, es divisible por un número impar de factores. Esto es true para todos los cuadrados perfectos y dado que la raíz cuadrada de 1000 es un poco más de 31,6, habrá 31 números naturales menores que 1000 que tienen un número impar de factores
$1^2 = 1$, $2^2 = 4$, $3^2 = 9$, … $31^2 = 961$