Entiende el código de forma correcta previamente a aplicarlo a tu trabajo si ttienes algo que aportar puedes comentarlo.
Solución:
Sí, ese es un buen argumento. Para un enfoque ligeramente diferente, tenga en cuenta que si $f$ no tiene ceros, entonces podemos definir un inverso para él a través de
$$tildef(x) = frac1f(x)$$
Dado que $f(x) ne 0$ para todo $x$, esto tiene sentido. Entonces es fácil comprobar que $f tilde f = 1 = tilde ff$ es la función que es idénticamente $1$ (que es la identidad multiplicativa en el anillo), de modo que $f$ es invertible como elemento del anillo. Los elementos invertibles son nunca divisores de cero
Si no estás asumiendo continuidad, entonces los divisores de cero son precisamente las funciones que desaparecen en alguna parte. Si tiene una función $f$ que desaparece en algún lugar, digamos en $x$, entonces puede definir una función $g$ que tome el valor 1 en $x$ y 0 en cualquier otro lugar. Entonces $fg = 0$, pero ni $f,g$ son 0.
Editar: solo quiero agregar que a veces en matemáticas, en lugar de tratar de demostrarlo directamente, puede intentar trabajar de manera intuitiva, por ejemplo, piense en qué tipo de divisores de cero puede encontrar. Es decir, intenta encontrar dos funciones distintas de cero que se multipliquen por 0. Por ejemplo, podrías tener la función $f(x) = x$, $g(x) = x^2-1$, luego $(fg) (x) = x(x^2-1)$, que obviamente no es la función cero. Así que eso no funciona. Tal vez pueda pensar en otros ejemplos y ver cuáles funcionan, cuáles no… etc.