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Cada elemento distinto de cero en un anillo finito es una unidad o un divisor de cero

Ten en cuenta que en la informática un error casi siempere suele tener varias soluciones, no obstante nosotros te mostraremos lo más óptimo y mejor.

Solución:

En un anillo conmutativo finito con unidad, cada elemento es una unidad o un divisor de cero. De hecho, deja $aen R$ y considere el mapa en $R$ dada por $x mapas al hacha$. Si este mapa es inyectivo entonces tiene que ser sobreyectivo, porque $R$ es finito Por eso, $1=hacha$ para algunos $xen R$ y $a$ es una unidad Si el mapa no es inyectivo entonces hay $u,ven R$con $une v$tal que $au=av$. Pero entonces $a(uv)=0$ y $uvne0$ y entonces $a$ es un divisor de cero.

Para el caso no conmutativo, vea esta respuesta.

Su pregunta está incompleta: ¿dice que quiere probar que cada elemento distinto de cero de $R$ es “divisor de cero”? Si uno inserta una unidad o antes del cero-divisor entonces obtienes un true declaración, así que asumiré por ahora que eso es lo que quisiste decir.

Primero, siguiendo un comentario de Gerry Myerson sobre una respuesta relacionada reciente, permítanme divulgar que para mí cero es un divisor de cero. Afirmo que esto es solo una convención de la que debería poder traducir si lo considera conveniente.

A continuación, tenga en cuenta que si tiene una familia $R_i_i in I$ de anillos en los que cada elemento es una unidad o un divisor cero, lo mismo se aplica al producto cartesiano $R = prod_i in I R_i$.

En su caso, puede usar el teorema de estructura para anillos artinianos: $R$ es un producto finito de anillos artinianos locales, para reducirlo al caso en el que $R$ es artiniano local. Entonces el ideal maximal es nilpotente, por lo que toda no unidad es nilpotente y, en particular, un divisor de cero.

Insinuación$, sobrebrace^rmlarge pigeonhole,: j>k $$Flecha derecha (r^jk-1),color#0a0r^k=0 $$overset!large color#0a0r nmid 0Longrightarrow overbracer^jk=1^!!!!textstyle color#c00r,(r^i)!=!1^phantom!!!!!!, $$,Flecha derecha, color#c00r, $ es una unidad

Observación$ $ La idea se generaliza: si un divisor distinto de cero $,r,$ es algebraico, entonces divide el coeficiente de menor grado de cualquier polinomio del cual es raíz. Cuando dicho coeficiente es una unidad entonces también lo es $:r.:$ Por lo tanto, el resultado se cumple de manera más general para cualquier anillo que satisfaga una identidad polinomial cuyo coeficiente de menor grado sea la unidad, por ejemplo, para los famosos anillos de Jacobson que satisfagan la identidad $rm:X^n =:X:.$

PM Cohn ha demostrado que todo anillo conmutativo $R$ se puede incrustar en un anillo $S$ donde cada elemento de $S$ es un divisor de cero o una unidad de $R,$ (Él considera que esto es un “divisor dual aproximado de cero” de extensiones de fracción/localización)

Si tienes algún reparo y forma de progresar nuestro tutorial te invitamos ejecutar una interpretación y con mucho placer lo analizaremos.

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