Tenemos la solución a este asunto, al menos eso pensamos. Si sigues con interrogantes puedes dejarlo en el apartado de preguntas y con gusto te responderemos
Solución:
No hay error; la correspondencia biunívoca que conserva la inclusión entre los ideales de un anillo $R$ que contienen el ideal $I$ y los ideales del anillo cociente $R/I$ también da una correspondencia entre ideales primos.
Para el caso conmutativo con unidad, su prueba funciona.
Si quieres una prueba para el caso más general, y para probar un poco más:
Definición. Sea $R$ un anillo; un $I$ ideal de $R$ es completamente primo si y sólo si siempre que $abin I$, ya sea $ain I$ o $bin I$.
Definición. Sea $R$ un anillo; un $I$ ideal de $R$ es primo si y solo si siempre que $JKsubseteq I$, donde $J$ y $K$ son ideales, ya sea $Jsubseteq I$ o $Ksubseteq I$.
Si $R$ es conmutativo, entonces un ideal es primo si y solo si es completamente primo. Sin embargo, las dos nociones no son equivalentes para anillos arbitrarios. Por ejemplo, en el anillo de matrices $2times 2$ sobre un campo, los únicos ideales son el ideal trivial y el anillo completo; en particular, el ideal cero es un ideal primo, pero no es completamente primo porque puedes encontrar dos matrices distintas de cero cuyo producto sea la matriz cero.
Teorema. Sea $R$ un anillo y sea $I$ un ideal de $R$. Entonces, la correspondencia natural entre ideales de $R$ que contienen $I$ e ideales de $R/I$ identifica ideales primos con ideales primos e identifica ideales primos completos con ideales primos completos.
Prueba. Sea $J$ un ideal que contiene $I$. Si $J$ es completamente primo, suponga que $a+I, b+Iin R/I$ son tales que $(a+I)(b+I)in J/I$. Entonces $ab+Iin J/I$, por lo tanto $abin J$ (ya que $Isubseteq J$); dado que $J$ es completamente primo, ya sea $ain J$ o $bin J$, entonces $a+Iin J/I$ o $b+Iin J/I$. Por lo tanto, $J/I$ es completamente primo. Por el contrario, suponga que $J/I$ es completamente primo, y sea $a,bin R$ tal que $abin J$. Entonces $ab+Iin J/I$, por lo tanto $a+Iin J/I$ o $b+Iin J/I$. Si $a+Iin J/I$, entonces existe $iin I$ tal que $a+iin J$, por lo tanto $ain J$ (ya que $Isubseteq J$); asimismo, si $b+Iin J/I$, entonces $bin J$. Por lo tanto, $J$ es completamente primo.
Supongamos ahora que $J$ es un ideal primo. Sean $K/I$ y $L/I$ ideales de $R/I$ tales que $(K/I)(L/I)subseteq J/I$, con $K/I$ correspondiente al ideal $K$ de $R$ que contiene $I$, y el ideal $L/I$ correspondiente a $L$. Entonces $(K/I)(L/I) = (KL)/Isubseteq J/I$, por lo tanto, por la correspondencia que preserva la inclusión, $KLsubseteq J$, entonces $Ksubseteq J$ o $Lsubseteq J$, por lo tanto $K/Isubseteq J/I$ o $L/Isubseteq J/I$. Por tanto, $J/I$ es un ideal primo. Por el contrario, si $J/I$ es un ideal primo, sean $K$ y $L$ ideales tales que $KLsubseteq L$. Entonces $K+I$ y $L+I$ son ideales que contienen $I$, y $(K+I)(L+I)=KL+KI+IL+I^2subseteq KL+Isubseteq KL +J=J$; por lo tanto, $(K+I)/I$ y $(L+I)/I$ son ideales de $R/I$ cuyo producto está contenido en $J/I$, entonces $K+Isubseteq J$ o $L+Isubconjunto J$. Pero $Ksubseteq K+I$ y $Lsubseteq L+I$, así que $Ksubseteq J$ o $Lsubseteq J$. Por lo tanto, $J$ es primo. QED
Sí, este es un resultado estándar. La prueba que das es la misma que la de Zariski y Samuel, Álgebra conmutativa I, S.3.8, Teorema 11. Ver también la presentación un poco más general sobre extensión y contracción, p.9 en Atiyah y MacDonald, Introducción al Álgebra Conmutativa. $ $ No tuve problemas para localizarlo mediante búsquedas en la web, por ejemplo, el Lema al final de las notas de Boocher en la página 8.
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