Solución:
Por el teorema de la estructura de módulos generados finitamente sobre dominios ideales principales, podemos escribir
$$ M cong F[x]/ (e_1) oplus F[x]/ (e_2) oplus dotsb oplus F[x]/ (e_s) $$
con $ e_1 | e_2 | dotsc | e_s $.
En particular, tenemos $ e_sM = 0 $, lo que significa que el polinomio mínimo $ m $ es un divisor de $ e_s $ y en realidad uno tiene $ m = e_s $. Esto produce
$$ dim_F M = deg e_1 + dotsb + deg e_s geq deg e_s = deg m. $$
El polinomio mínimo y el polinomio característico coinciden si y solo si se cumple la igualdad, que es el caso si y solo si $ s = 1 $, lo que significa que $ M cong F[x]/ (e_1) $ es cíclico.
Permítanme también dar una prueba elemental de la dirección difícil:
Si el polinomio mínimo $ m en F[x]$ de $ T $ coincide con el polinomio característico, $ M $ es cíclico.
Prueba:
Primero hagamos el caso $ m = p $ para algún polinomio irreducible $ p en F[x]$ de grado $ d $. En este caso, cualquier $ v neq 0 $ generará $ M $, ya que un subespacio invariante de $ T $ adecuado de $ M $ da lugar a una factorización de $ m $.
Ahora consideremos el caso $ m = p ^ n $ para algún polinomio irreducible $ p en F[x]$ de grado $ d $. Sea $ v $ cualquier vector con $ p ^ {n-1} (T) v neq 0 $. Luego
$$ p ^ j (T) v, p ^ j (T) Tv, dotsc, p ^ j (T) T ^ {d-1} v, 0 leq j leq n-1 $$
son $ dn $ vectores lineales independientes, por lo que forman una base de $ M $, lo que muestra que $ v $ genera $ M $.
Para ver la independencia lineal, aplique $ p ^ {n-1} (T) $ a una combinación lineal de los vectores. Luego use el caso $ n = 1 $ para ver que los coeficientes restantes son cero. Luego aplique $ p ^ {n-2} (T) $ y proceda.
Finalmente, el caso general es un uso del teorema del resto chino y el teorema de descomposición en espacios propios generalizados.
Sea $ m = p_1 ^ {n_1} dotsb p_s ^ {n_s} $. Tenemos la descomposición
$$ M = operatorname {ker} (p_1 ^ {n_1} (T)) oplus dotsb oplus operatorname {ker} (p_s ^ {n_s} (T)) $$
Por los casos ya tratados obtenemos que $ operatorname {ker} (p_1 ^ {n_1} (T)) $ es cíclico con aniquilador $ p_1 ^ {n_1} $, es decir $ operatorname {ker} (p_1 ^ { n_1} (T)) = F[x]/ (p_1 ^ {n_1}) $. Por el teorema del resto chino ahora obtenemos que
$$ M = operatorname {ker} (p_1 ^ {n_1} (T)) oplus dotsb oplus operatorname {ker} (p_1 ^ {n_1} (T)) = F[x]/ (p_1 ^ {n_1}) oplus dotsb oplus F[x]/ (p_s ^ {n_s}) = F[x]/ (m) $$
es cíclico.
Tenga en cuenta que en el caso en el que $ F $ está algebraicamente cerrado, los dos primeros casos se colapsan en la siguiente declaración muy sencilla:
Si $ T $ es nilpotente y $ n $ mínimo con $ T ^ n = 0 $, entonces $ v, Tv, dotsc, T ^ {n-1} v $ son lineales independientes para cualquier $ v $ con $ T ^ {n-1} v neq 0 $.
Aquí hay una dirección (la fácil):
Sea $ m $ grado $ k $ y el polinomio característico $ f $ grado $ n = dim M $.
Tenemos $ m (T) v = 0 $ para todos $ v en M $. Si $ m ne f $, entonces $ v, T ^ 2v, dots T ^ kv $ no puede formar una base para $ M $ porque $ m (T) v = 0 $ muestra que ya son linealmente dependientes por menos de $ k + 1 le n $ poderes. Por tanto, $ M $ no puede ser cíclico.