Posterior a de nuestra extensa selección de datos pudimos resolver esta problema que presentan algunos los lectores. Te regalamos la respuesta y deseamos resultarte de gran ayuda.
Solución:
La prueba que sigue es la proporcionada por Gauss y utiliza la aritmética modular de una manera muy ingeniosa. Resumiremos los resultados necesarios de la siguiente manera:
1) Para un número primo dado $ p $, los números $ 0, 1, 2, ldots, (p – 1) $ forman un campo finito bajo las operaciones de suma y multiplicación módulo $ p $.
2) Dado que estos números forman un campo, digamos $ F_ p $, podemos hablar de polinomios $ f (z) $ cuyos coeficientes están en $ F_ p $. El conjunto de todos esos polinomios, digamos $ F_ p[z]$, tiene la propiedad de factorización única, es decir, cualquier polinomio de este tipo se puede factorizar como un producto de polinomios irreducibles en $ F_ p[z]$ de forma única aparte del orden de los factores. La prueba es la misma que se usa para polinomios normales con coeficientes racionales.
3) Si $ f (z) $ es un polinomio en $ F_ p[z]$ luego $ f (z) ^ p = f (z ^ p) $. Este es true para polinomios constantes por el teorema de Fermat que dice que $ a ^ p equiv a , , text mod (p) $. Para polinomios de mayor grado, esto se logra por inducción escribiendo $ f (z) = az ^ n + g (z) $ y usando el teorema del binomio para elevar ambos lados a la potencia $ p $. Al hacerlo, solo necesitamos notar que los coeficientes binomiales involucrados son divisibles por $ p $.
La prueba de irreductibilidad de $ Phi_ n (z) $ se realiza en dos etapas:
Nivel 1:
Sea $ zeta $ una raíz primitiva $ n ^ th $ de la unidad y sea $ f (z) $ su polinomio mínimo, es decir, $ f (z) $ es monico (coeficiente principal $ 1 $), tiene coeficientes racionales e irreducible y $ f ( zeta) = 0 $. Dado que $ zeta $ también es una raíz de $ z ^ n – 1 = 0 $, se deduce que $ f (z) $ divide $ (z ^ n – 1) $ y por el Lema de Gauss $ f ( z) $ también tiene coeficientes enteros. Establecemos ahora lo siguiente:
Si $ p $ es un número primo que no divide $ n $, entonces $ zeta ^ p $ es una raíz de $ f (z) = 0 $.
Prueba: Dado que $ zeta $ también es una raíz de $ Phi_ n (z) = 0 $, se deduce que $ f (z) $ divide $ Phi_ n (z) $. Por lo tanto, tenemos $ Phi_ n (z) = f (z) g (z) $ donde $ g (z) $ también es monico y tiene coeficientes enteros (por el Lema de Gauss). Como $ p $ es coprimo de $ n $, se deduce que $ zeta ^ p $ también es una raíz $ n ^ th $ primitiva. Y por lo tanto $ Phi_ n ( zeta ^ p) = 0 $.
Suponiendo que $ zeta ^ p $ no es una raíz de $ f (z) = 0 $ (de lo contrario, no hay nada que probar), vemos que debe ser una raíz de $ g (z) = 0 $. Por lo tanto, $ zeta $ es una raíz de $ g (z ^ p) = 0 $. Dado que $ f (z) $ es el polinomio mínimo de $ zeta $, se deduce que $ f (z) $ divide $ g (z ^ p) $ de modo que $ g (z ^ p) = f (z) h (z) $ donde $ h (z) $ es monico con coeficientes enteros. Además, dado que $ Phi_ n (z) $ es un factor de $ (z ^ n – 1) $ de modo que tenemos $ z ^ n – 1 = Phi_ n (z) d (z) $ donde $ d (z) $ es nuevamente monico con coeficientes enteros. Por tanto, tenemos las siguientes ecuaciones: $$ z ^ n – 1 = f (z) g (z) d (z) tag 1 $$ $$ g (z ^ p) = f (z ) h (z) tag 2 $$ Ahora aplicamos la operación módulo $ p $ a cada una de las ecuaciones anteriores, es decir, reemplazamos cada coeficiente en los polinomios involucrados con su resto cuando se divide por $ p $. Los polinomios resultantes están todos en $ F_ p[z]$ y usaremos las mismas letras para denotarlos. Entonces, las ecuaciones anteriores ahora deben interpretarse como relaciones entre algunos polinomios en $ F_ p[z]PS La ecuación $ (2) $ ahora se puede escribir de manera equivalente como $$ g (z) ^ p = f (z) h (z) tag 3 $$ Sea $ k (z) $ en $ F_ p[z]$ sea un factor irreducible de $ f (z) $. Luego, de la ecuación anterior $ (3) $, $ k (z) $ divide $ g (z) ^ p $ y así divide $ g (z) $. Así, a partir de la ecuación $ (1) $, el polinomio $ k (z) ^ 2 $ divide $ (z ^ n – 1) $. Por lo tanto, $ (z ^ n – 1) $ tiene factores repetidos y, por lo tanto, $ (z ^ n – 1) $ y su derivada $ nz ^ n – 1 $ deben tener un factor común. Dado que $ n $ es coprimo con $ p $, la derivada $ nz ^ n – 1 $ es un polinomio distinto de cero y claramente no tiene ningún factor común con $ (z ^ n – 1) $.
Hemos llegado a una contradicción y, por lo tanto, la suposición inicial de que $ zeta ^ p $ no es la raíz de $ f (z) = 0 $ es incorrecta. El resultado ahora está probado.
Etapa 2:
Por lo tanto, hemos establecido que si $ f (z) $ es el polinomio mínimo para cualquier primitivo $ n ^ th $ raíz de la unidad, entonces para cualquier primo $ p $ que no divida $ n $, $ zeta ^ p $ (que es de nuevo una raíz $ n ^ th $ primitiva) también es una raíz de $ f (z) = 0 $. Y dado que $ f (z) $ es irreducible y mónica, actuará como polinomio mínimo para la raíz primitiva $ zeta ^ p $.
La misma lógica se puede aplicar repetidamente y obtendremos el resultado de que $ f (z) $ es el polinomio mínimo para $ zeta ^ p_ 1 p_ 2 ldots p_ m $ donde $ p_ 1, p_ 2, ldots, p_ m $ son números primos que no dividen $ n $. De ello se deduce que $ zeta ^ k $ donde $ k $ es coprime a $ n $ también es una raíz de $ f (z) $. Así, todas las raíces primitivas $ n ^ th $ de la unidad son raíces de $ f (z) = 0 $. Por tanto, $ Phi_ n (z) $ divide $ f (z) $. Dado que $ f (z) $ es irreducible, se deduce que $ f (z) = Phi_ n (z) $ (tanto $ f (z) $ como $ Phi_ n (z) $ son monicos). Por tanto, hemos establecido que $ Phi_ n (z) $ es irreductible.
Actualizar: El usuario Vik78 señala en los comentarios que Gauss había demostrado la irreductibilidad de $ Phi_ n (z) $ solo para valores primos de $ n $ y fue Dedekind quien lo estableció para valores no primos de $ n $. Tenga en cuenta que el problema es mucho más simple cuando $ n $ es primo (una prueba fácil es a través del criterio de irreductibilidad de Eisenstein) y el meollo del argumento presentado anteriormente se debe esencialmente a Gauss. Llegué a conocer esta prueba del maravilloso libro Teoría de las ecuaciones algebraicas de Galois por Jean Pierre Tignol.
Tignol menciona en su libro que Gauss demostró la irreductibilidad de $ Phi_ n (z) $ sobre $ mathbb Q $ para valores no primos de $ n $ en 1808 (ver sección 12.6 titulada Irreductibilidad de polinomios ciclotómicos en la página 196 del libro mencionado en el último párrafo). Dedekind, por otro lado, demostró un teorema aún más poderoso:
Teorema: Sea $ zeta_ m $ una raíz de unidad $ m ^ text th $ primitiva. Si $ m, n $ son primos relativos, entonces $ Phi_ n (z) $ es irreductible sobre el campo $ mathbb Q ( zeta_ m) $.
Y Gauss usó este resultado implícitamente (pensando que podría probarse de manera similar a la irreductibilidad de $ Phi_ n (z) $ sobre $ mathbb Q $) para obtener la solución de $ Phi_ n (z ) = 0 $ a través de radicales.
Intentaré reformular la esencia de la respuesta de Paramanand Singh para aislar un poco mejor los argumentos utilizados (aunque probablemente menos fieles a lo que escribió Gauss *), en aras de la transparencia.
El punto de partida es que $ def Z Bbb Z Phi_n in Z[X]$ se definen inductivamente para $ n> 0 $ por la relación de recurrencia $ prod_ k mid n Phi_k = X ^ n-1 $ (al igual que los números $ phi (n) $, que son sus grados, están definidos por $ sum_ k mid n phi_k = n $); se puede calcular $ Phi_n $ en $ def Q Bbb Q Q[X]$ por división exacta polinomial a partir de $ X ^ n-1 $, y dado que (por inducción) todas las divisiones son por polinomios monicos con coeficientes enteros, $ Phi_n $ es monico y tiene coeficientes enteros.
Si $ Phi_n $ fueran reducibles sobre $ ~ Q $, esto dividiría las primitivas $ n $ -ésimas raíces de la unidad (en $ def C Bbb C C $) en más de un subconjunto, cada caracterizado como las raíces de un polinomio racional diferente. Para demostrar que esto es imposible, se argumenta que para cualquier factor irreducible $ F $ de $ Phi_n $ en $ Q[X]$, y para cualquier primo $ ~ p $ que no divida $ ~ n $, el conjunto de raíces de $ F $ se cierra bajo la operación $ zeta mapsto zeta ^ p $. Dado que (considerando el grupo cíclico de $ n $ -ésimas raíces de la unidad) esta operación mapea las primitivas $ n $ -ésimas raíces con las primitivas $ n $ -ésimas raíces, y las composiciones de tales operaciones para diferentes primos $ ~ p $ permiten yendo desde cualquiera de las $ phi (n) $ primitivas $ n $ -ésimas raíces a cualquier otra, esto mostrará que $ F $ tiene $ phi (n) $ raíces distintas en $ ~ C $, y por lo tanto es igual a $ Phi_n $.
Ahora arregle tales $ F $ y $ p $. La operación $ zeta mapsto zeta ^ p $ en $ C $ sobre raíces da lugar a una operación sobre polinomios irreducibles en $ Q[X]$: el polinomio mínimo $ ~ G $ sobre $ ~ Q $ de la imagen de $ X ^ p $ en el campo $ Q[X]/ (F) $ es un polinomio mónico irreducible en $ Q[X]$ determinado por $ ~ F $, y por construcción $ F $ divide $ G[X^p]$, el resultado de sustituir $ X ^ p $ por $ X $ en $ G $. Siempre que $ zeta in C $ es una raíz de $ ~ F $, está claro que $ zeta ^ p $ es una raíz de $ ~ G $, y como $ deg G leq[Q[X]/ (F): Q]= deg F $ uno obtiene todas las raíces de $ G $ de esta manera. Hay que demostrar que $ F = G $.
A key el punto es que $ F $ y $ G $, los cuales dividen $ Phi_n $ en $ Q[X]$ dado que sus raíces (distintas) en $ ~ C $ están entre las raíces de este último, tienen entero coeficientes. Esto se debe al lema de Gauss que establece que el producto de polinomios primitivos en $ Z[X]$ (es decir, aquellos que no se pueden dividir por ningún número primo) es nuevamente primitivo. (Un argumento detallado dice: $ F in Q[X]$ es un divisor monico del monico $ Phi_n in Z[X]$, entonces el cociente $ Q in Q[X]$ con $ FQ = Phi_n $ es monic; luego algunos múltiplos enteros positivos $ aF, bQ in Z[X]$ son primitivos (es decir, los múltiplos mínimos con todos los coeficientes enteros), y por el lema $ aFbQ = ab Phi_n $ es primitivo, pero como $ Phi_n in Z[X]$ esto fuerza $ a = b = 1 $.)
Entonces uno puede aplicar la reducción modular $ def Fp Bbb F_p Z[X] a Fp[X]$ a nuestros polinomios, que escribiré $ P mapsto overline P $. Al ser un morfismo de anillos, conserva la divisibilidad de polinomios. Un punto importante es que $ overline X ^ n-1 $ todavía está libre de cuadrados sobre $ ~ Fp $ (no tiene raíces múltiples en un campo de extensión), ya que es coprime con su derivada $ overline nX ^ n-1 $ (como $ overline n neq0 $ en $ ~ Fp $ por hipótesis). Ahora bien, si $ F $ y $ G $, que son factores irreductibles de $ ~ X ^ n-1 $, fueran distintos, entonces $ def oF overline F oF $ y $ def oG overline G oG $ sería (también) coprime en $ ~ Fp[X]PS Mostraremos que esto es false.
Dado que en cualquier anillo de característica $ ~ p $ el mapa $ eta: x mapsto x ^ p $ es un morfismo de anillos (llamado endomorfismo de Frobenius), y $ eta $ fija todos los elementos de $ ~ Fp $, uno tiene en $ Fp[X]$ que $ oG ^ p = eta ( oG) = oG[X^p]$, que también es claramente igual a $ overline G[X^p] $ y por lo tanto divisible por $ oF $. Esto contradice que $ oF $ y $ oG $ sean coprimos, y esta contradicción completa la prueba.
* Buscando en Google un poco, encontré evidencia de que el resultado no se debe a Gauss en absoluto para $ n $ generales, sino solo para primos $ ~ n $ (donde $ Phi_n = 1 + X + ldots, X ^ {n-1 PS Vea esta nota y esta. Aparentemente, el caso general fue probado por primera vez por Dedekind, y la simplificación que conduce a la prueba anterior se debe a van der Waerden.
Según el Libro Álgebra de Serge Lang, el “hecho de que $ Phi_n $ es un polinomio irreducible de grado $ varphi (n) $ en el anillo $ mathbb Z[x]$ es un resultado no trivial debido a Gauss “. Por lo tanto, no hay una respuesta corta a su pregunta.
De todos modos, simplemente abra su libro favorito sobre álgebra abstracta y encuentre la prueba allí. (Si no es así, tal vez sea el momento de cambiar su libro “favorito” …)
Además, Google sacó a relucir este documento donde se dan varias pruebas diferentes.
Si haces scroll puedes encontrar las interpretaciones de otros creadores, tú igualmente puedes dejar el tuyo si te gusta.