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Solución:
Este es el problema de distribuir $ n $ bolas en $ k $ bins, que puede resolverse utilizando el método de estrellas y barras; el resultado es
$$ binom n + k-1 k-1 ;. $$
En el caso no conmutativo (sé que no lo estaba pidiendo, pero lo incluiré en aras de la integridad), el proceso de generar la suma de todas las derivadas no es más que la aplicación sucesiva del operador diferencial $$ izquierda ( frac parcial parcial x_1 + … + frac parcial parcial x_k derecha) $$
Por ejemplo, si $ k = 2 $
$$ izquierda ( frac parcial parcial x + frac parcial parcial y derecha) f = frac parcial f parcial x + frac parcial f parcial y $$
Desarrollaré un ejemplo con $ k = 3 $. Una buena forma de calcular todas las derivadas es dibujar una tabla. En la primera columna escribo los operadores. En la primera fila, escribo todas las funciones a las que se aplicarán los operadores. Las entradas de la tabla son el resultado de aplicar el operador correspondiente a las funciones. Digamos entonces que $ f = f (x, y, z) $. El proceso de obtener todas las derivadas parciales de primer orden de $ f $ podría describirse mediante
comenzararray cc & f \ frac parcial parcial x & frac parcial f parcial x \ frac parcial parcial y & frac parcial f parcial y \ frac parcial parcial z & frac parcial f parcial z end array
Para obtener todas las derivadas de segundo orden, simplemente usamos todas las entradas de esta tabla como las funciones de destino de otra tabla, digamos
comenzararray cccc & frac parcial f parcial x & frac parcial f parcial y & frac parcial f parcial z \ frac parcial parcial x & frac parcial ^ 2 f parcial x ^ 2 & frac parcial ^ 2 f parcial x parcial y & frac parcial ^ 2 f parcial x parcial z \ frac parcial parcial y & frac parcial ^ 2 f parcial y parcial x & frac parcial ^ 2 f parcial y ^ 2 & frac parcial ^ 2 f parcial y parcial z \ frac parcial parcial z & frac parcial ^ 2 f parcial z parcial x & frac parcial ^ 2 f parcial z parcial y & frac parcial ^ 2 f z parcial ^ 2 end array
Las derivadas de tercer orden
comenzararray cccccccccc & frac parcial ^ 2 f parcial x ^ 2 & frac parcial ^ 2 f parcial x parcial y & frac parcial ^ 2 f parcial x parcial z & frac parcial ^ 2 f parcial y parcial x & frac parcial ^ 2 f parcial y ^ 2 & frac parcial ^ 2 f y parcial z parcial & frac parcial ^ 2 f z parcial parcial x & frac parcial ^ 2 f parcial z parcial y & frac parcial ^ 2 f parcial z ^ 2 \ frac parcial parcial x & frac parcial ^ 3 f parcial x ^ 3 & frac parcial ^ 3 f parcial x ^ 2 parcial y & frac parcial ^ 3 f parcial x ^ 2 parcial z & frac parcial ^ 3 f parcial x parcial y parcial x & frac parcial ^ 3 f parcial x parcial y ^ 2 & frac parcial ^ 3 f parcial x parcial y parcial z & frac parcial ^ 3 f parcial x parcial z parcial x & frac parcial ^ 3 f parcial x parcial z parcial y & frac parcial ^ 3 f parcial x parcial z ^ 2 \ frac parcial parcial y & frac parcial ^ 3 f parcial y parcial x ^ 2 & frac parcial ^ 3 f parcial y p artístico x parcial y & frac parcial ^ 3 f parcial y parcial x parcial z & frac parcial ^ 3 f parcial y ^ 2 parcial x y frac parcial ^ 3 f parcial y ^ 3 & frac parcial ^ 3 f parcial y ^ 2 parcial z & frac parcial ^ 3 f parcial y parcial z parcial x & frac parcial ^ 3 f parcial y parcial z parcial y & frac parcial ^ 3 f y parcial z parcial ^ 2 \ frac parcial z parcial & frac parcial ^ 3 f z parcial x parcial ^ 2 & frac parcial ^ 3 f parcial z parcial x parcial y & frac parcial ^ 3 f parcial z parcial x parcial z y frac parcial ^ 3 f parcial z parcial y parcial x & frac parcial ^ 3 f parcial z parcial y ^ 2 & frac parcial ^ 3 f parcial z parcial y parcial z & frac parcial ^ 3 f parcial z ^ 2 parcial x & frac parcial ^ 3 f parcial z ^ 2 parcial y & frac parcial ^ 3 f parcial z ^ 3 end array
Puede ver que la suma de todas las derivadas de tercer orden, dada en este caso por
$$ izquierda ( frac parcial parcial x + frac parcial parcial y + frac parcial parcial z derecha) ^ 3 f $$
Se puede calcular simplemente sumando las entradas de esta tabla de tercer orden. Es obvio cómo se puede usar esto para una función de $ k $ variables. En cada paso, la tabla tendrá $ k veces (número : de : funciones : de entrada) $ derivadas resultantes. Comenzando con solo $ f $ como función de entrada, tendrá $ k ^ n $ $ n ^ th $ derivadas de orden.
En el caso totalmente conmutativo, por otro lado, estoy de acuerdo con Joriki. Como dijo, el procedimiento se explica en Estrellas y barras y Multisets-Counting Multisets. Y el resultado es
$$ N_ PD = left ( left ( begin array c k \ n end array right) right) = left ( begin array c k + n-1 \ n end array right) = left ( begin array c k + n-1 \ k-1 end array derecha) $$
Donde $ left ( left ( begin array c k \ n end array right) right) $ es el número de conteo de varios conjuntos.
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