Solución:
Según tengo entendido, estas son sus preguntas:
- ¿Cómo se define la derivada de un campo vectorial? ¿Simplemente tomamos las “derivadas” de cada vector en el campo? Si es así, ¿qué significa tomar la derivada de un operador diferencial?
- ¿Por qué la derivada total de un campo escalar da información sobre las tasas de cambio, mientras que la “derivada total” de un campo vectorial da el empuje hacia adelante (que no parece relacionarse con las tasas de cambio)?
Creo que la mejor forma de responder a estas preguntas es proporcionar un contexto más amplio:
En cálculo, preguntamos cómo encontrar derivadas de funciones $ F colon mathbb R ^ m to mathbb R ^ n $. La respuesta típica es la derivada total $ DF colon mathbb R ^ m to L ( mathbb R ^ m, mathbb R ^ n) $, que asigna a cada punto $ p in mathbb R ^ m $ un mapa lineal $ D_pF en L ( mathbb R ^ m, mathbb R ^ n) $. Con respecto a las bases estándar, este mapa lineal se puede representar como una matriz: $$ D_pF = begin pmatrix left. Frac partial F ^ 1 partial x ^ 1 right | _p & cdots & left. frac parcial F ^ 1 parcial x ^ m right | _p \ vdots & & vdots \ left. frac parcial F ^ n parcial x ^ 1 derecha | _p & cdots & izquierda. frac parcial F ^ n parcial x ^ m derecha | _p end pmatrix $$
Personalmente, creo que esto codifica muy bien la idea de “tasa de cambio”. (¡Solo mira todas esas derivadas parciales!)
Ahora nos especializamos en el caso $ m = n $. Psicológicamente, ¿cómo se intuyen estas funciones $ F colon mathbb R ^ n to mathbb R ^ n $? Hay dos respuestas habituales:
(1) Intuimos $ F colon mathbb R ^ n to mathbb R ^ n $ como un mapa entre dos espacios diferentes. Los puntos del espacio de dominio se envían a puntos en el espacio de codominio.
(2) Intuimos $ F colon mathbb R ^ n to mathbb R ^ n $ como un campo vectorial. A cada punto en $ mathbb R ^ n $ se le asigna una flecha en $ mathbb R ^ n $.
Esta distinción es importante. Cuando generalizamos desde $ mathbb R ^ n $ a variedades abstractas, estas dos ideas tomarán formas diferentes. En consecuencia, esto significa que terminaremos con diferentes conceptos de “derivada”.
En el caso (1), los mapas $ F colon mathbb R ^ m to mathbb R ^ n $ generalizan a mapas suaves entre colectores $ F colon M a N $. En este contexto, el concepto de “derivada total” se generaliza muy bien a “empujar hacia adelante”. Es decir, tiene sentido hablar sobre el avance de un mapa fluido $ F colon M a N $.
Pero preguntaste sobre campos vectoriales, lo que nos lleva al caso (2). En este caso, primero debemos tener cuidado con lo que entendemos por “vector” y “campo de vector”.
A vector $ v_p in T_pM $ en un punto $ p $ es (como usted dice) un operador derivado direccional en el punto $ p $. Esto significa que $ v_p $ ingresa un campo escalar $ f colon M to mathbb R $ y genera un número real $ v_p (f) in mathbb R $.
A campo vectorial $ v $ en $ M $ es un mapa que asocia a cada punto $ p en M $ un vector $ v_p en T_pM $. Esto significa que un campo vectorial define un operador derivado en cada punto.
Por lo tanto: un campo vectorial $ v $ puede considerarse como un operador que ingresa campos escalares $ f colon M a mathbb R $ y genera campos escalares $ v (f) colon M to mathbb R PS
En este contexto, ya no tiene sentido hablar de la “derivada total” de un campo vectorial. Usted mismo lo ha dicho: ¿qué significaría hablar de “derivadas” de vectores, de todos modos? Esto no tiene sentido, así que tendremos que tomar una ruta diferente.
En geometría diferencial, hay dos formas de hablar de la derivada de un campo vectorial con respecto a otro campo vectorial:
- Conexiones (generalmente indicadas $ nabla_wv $ o $ D_wv $)
- Derivadas de mentira (generalmente denotadas $ mathcal L _wv $ o $[w,v]PS
Intuitivamente, estas nociones capturan la idea de “tasa de cambio infinitesimal de un campo vectorial $ v $ en la dirección de un campo vectorial $ w $”.
Pregunta: ¿Cómo se ven estas construcciones en $ mathbb R ^ n $?
Aprovechando el hecho de que estamos en $ mathbb R ^ n $, podemos mirar nuestros campos vectoriales en forma de cálculo: como funciones $ v colon mathbb R ^ n to mathbb R ^ n $. Como tal, podemos escribir los componentes como $ v = (v ^ 1, ldots, v ^ n) $.
los (Levi-Civita) conexión de $ v $ con respecto a $ w $ se define como $$ nabla_wv = (w (v ^ 1), ldots, w (v ^ n)), $$ donde $$ w (v ^ i): = w ^ 1 frac partial v ^ i parcial x ^ 1 + ldots + w ^ n frac parcial v ^ i parcial x ^ n. $$
los Derivada de mentira de $ v $ con respecto a $ w $ tiene una definición técnica en términos de flujos en los que no quiero entrar, pero la conclusión es que es similar a la respuesta de Rod Carvalho.
Además, en $ mathbb R ^ n $ tenemos la fórmula agradable
$$ mathcal L _wv = nabla_wv – nabla_vw, $$
que ayuda en el cálculo.
Sea $ mathbb v: mathbb R ^ n to mathbb R ^ n $ un campo vectorial, y sea $ varphi: mathbb R ^ n to mathbb R $ sea un campo escalar. Suponga que nos gustaría obtener la derivada direccional de $ varphi $ en cada $ x $ en la dirección de $ mathbb v (x) $, que es la siguiente
$$ (D _ mathbb v varphi) (x): = displaystyle lim_ t rightarrow 0 ^ + frac varphi (x + t mathbb v (x)) – varphi (x) t = langle nabla varphi (x), mathbb v (x) rangle $$
Esta es la derivada de Lie de $ varphi $ a lo largo de $ mathbb v $. Se usa ampliamente en la teoría de control, es decir, en el estudio de la estabilidad de Lyapunov de sistemas dinámicos. Si el campo vectorial $ mathrm v $ es el gradiente de un campo escalar $ psi: mathbb R ^ n to mathbb R $, entonces la derivada de Lie de $ varphi $ a lo largo de $ mathrm v (x): = nabla psi (x) $ viene dado por
$$ (D _ mathbb v varphi) (x) = langle nabla varphi (x), mathbb v (x) rangle = langle nabla varphi (x), nabla psi (x) rangle $$
¿Ha respondido esto, aunque sea de forma remota, su pregunta?
Actualizar: Dado que mi publicación original no respondió la pregunta del OP, agregaré esta actualización. Sea $ mathbb u, mathbb v: mathbb R ^ n to mathbb R ^ n $ campos vectoriales. Sea $ mathbb u _i $ el $ i $ -ésimo componente de $ mathbb u $, y observe que $ mathbb u _i $ es un campo escalar. Podemos calcular la derivada de Lie de $ mathbb u _i $ a lo largo de $ mathbb v $, que es la función escalar
$$ (D _ mathbb v mathbb u _i) (x) = langle nabla mathbb u _i (x), mathbb v (x) rangle $$
Podríamos definir la derivada de Lie del campo vectorial $ mathbb u $ a lo largo del campo vectorial $ mathbb v $ de la siguiente manera
$$ (D _ mathbb v mathbb u) (x): = left[beginarrayc (D_mathbbv mathbbu_1) (x)\ (D_mathbbv mathbbu_2) (x)\ vdots \ (D_mathbbv mathbbu_n) (x)endarrayright]$$
Finalmente, tenga en cuenta que $ (D _ mathbb v mathbb u) (x) = ((D mathbb u) (x)) , mathbb v (x) $, donde $ (D mathbb u) $ es el jacobiano de $ mathbb u $.
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