Te damos el hallazgo a esta dificultad, o por lo menos eso deseamos. Si tienes dudas coméntalo, que sin tardanza
Solución:
Como escribió Qiaochu, la respuesta a la pregunta es “realmente no, pero…” Permítanme ampliar la parte del “pero”.
La definición positiva requiere inherentemente un orden en su campo. Por el contrario, si tiene un campo ordenado, entonces la teoría de los productos internos se realiza literalmente. (El orden no tiene que ser de Arquímedes, así que esto da muchos más ejemplos).
Supongamos que tiene un campo K de característica diferente de 2 que no se puede ordenar: por un teorema de Artin-Schreier, esto equivale a que -1 sea una suma de cuadrados en el campo. Entonces no tienes “definición positiva”. Además, el “producto interior estándar”
$$q(x_1,…,x_n) = x_1^2 + … + x_n^2$$
será isótropo para $n$ suficientemente grande, es decir, existirán vectores distintos de cero $v = (x_1,…,x_n)$ tales que $q(v) = 0$. Por ejemplo, si K es finito, esto ocurre tan pronto como $n ge 3$.
Permítanme comentar que los “productos internos isotrópicos” no son intrínsecamente inútiles. Tengo una versión preliminar de un libro maravilloso, “Métodos de álgebra lineal en combinatoria” de Laszlo Babai, que de hecho hace un buen uso del producto interno anterior sobre campos finitos, incluso en la característica 2.
(Consulte http://www.cs.uchicago.edu/research/publications/combinatorics. Desafortunadamente, parece que el libro nunca llegó a buen término. Obtuve mi copia hace más de 10 años cuando tomé un curso de grado en combinatoria de Babai .)
Por otro lado, a cualquier forma cuadrática sobre un campo K de característica no 2, se le puede asociar una forma bilineal simétrica. Véase (entre otras infinitas referencias) p. 2 de
http://math.uga.edu/~pete/quadraticforms.pdf
Como arriba, es plausible que un sustituto algebraico de “espacio de producto interno” sea “espacio vectorial dotado de una forma cuadrática anisotrópica”, es decir, una forma cuadrática regular sin vectores v distintos de cero para los cuales $q(v) = 0$. Witt descubrió que se puede hacer mucha “geometría” en este caso: en especial, definió la reflexión a través del hiperplano determinado por cualquier vector anisotrópico: ver (por ejemplo…) las páginas 17-18 de la referencia anterior. más es true aquí de lo que se incluye en mis notas introductorias: por ejemplo, el grupo ortogonal de una forma cuadrática anistrópica tiene las “propiedades de compacidad” del grupo ortogonal real estándar O (n) (es decir, no contiene un subtoro dividido no trivial).
No. El axioma que falla es la definición positiva, que no significa nada para un campo arbitrario. Pero todavía se pueden definir formas bilineales simétricas.
Para obtener un análogo de hermitiano productos internos, generalizando el producto interno de espacios vectoriales complejos, se suelen considerar campos dotados de una involución (igual que una conjugación compleja) y se usa de la manera más o menos obvia. Así se pueden definir los grupos unitarios, por ejemplo; ver Dieudonné Sur les groupes classiques.
Aquí puedes ver las reseñas y valoraciones de los lectores
Te invitamos a añadir valor a nuestra información tributando tu experiencia en las notas.