Después de observar en varios repositorios y sitios al concluir nos hemos encontrado la resolución que te compartimos pronto.
Solución:
Asuma $textbfv in U cap W$. Entonces $textbfv = a(1,1,0,-1)+b(0,1,3,1)$ y $textbfv = x(0,-1,-2,1 )+y(1,2,2,-2)$.
Como $textbfv-textbfv=0$, entonces $a(1,1,0,-1)+b(0,1,3,1)-x(0,-1,- 2,1)-y(1,2,2,-2)=0$. Si resolvemos para $a, b, x$ y $y$, obtenemos la solución como $x=1$, $y=1$, $a=1$, $b=0$.
entonces $textbfv=(1,1,0,-1)$
Puede validar el resultado simplemente agregando $(0,-1,-2,1)$ y $(1,2,2,-2)$
El comentario de Annan con una ligera corrección es una posibilidad de encontrar la base para el espacio de intersección $ U cap W $, los pasos son los siguientes:
1) Construya la matriz $ A=beginpmatrixmathrmBase(U) & | & -mathrmBase(W)endpmatrix $ y encuentre los vectores base $ textbfs_i=beginpmatrixtextbfu_i \ textbfv_iend pmatrix $ de su espacio nulo.
2) Para cada vector base $ textbfs_i $ construye el vector $ textbfw_i=mathrmBase(U)textbfu_i=mathrmBase(W)textbf v_i$.
3) El conjunto $ textbfw_1, textbfw_2,…, textbfw_r $ constituye la base del espacio de intersección $ span(textbfw _1, textbfw_2,…, textbfw_r) $.
Usaré las mismas ideas que esta otra respuesta, pero agregaré más detalles sobre algunos de los pasos.
Dejar $mathcal U$ y $mathcal V$ ser dos espacios vectoriales de dimensión finita. Quiero encontrar una base para la intersección. $mathcal Ucapmathcal V$.
Dejar $U$ y $V$ ser matrices cuyas columnas son los vectores base de $mathcal U$ y $mathcal V$, respectivamente. El problema es entonces equivalente al de caracterizar $operatornameRango(U)cap operatornameRango(V)$. En otras palabras, el problema es encontrar las soluciones distintas de cero para $x,y$ a la ecuación matricial
$$Ux=Vy.etiqueta A$$
Por cierto, $zinoperatornameRango(U)cap operatornameRango(V)$si y si existen $x,y$ tal que $z=Ux=Vy$.
Ahora, para resolver (A) podemos definir $Aequiv(U|-V)$ (esta es la matriz con columnas el conjunto completo de los vectores en ambas bases de $mathcal U$ y $mathcal V$), y encuentre su espacio nulo. Por cierto, $AX=0$ dónde $Xequivbeginpmatrixx\yendpmatrix$ implica $Ux=Vy$.
Una vez que tenemos un conjunto completo de bases para el espacio nulo de $A$en forma de un conjunto ortonormal de vectores $X_i$ (con cada $X_i$ correspondiente a un par $x_i,y_i$), podemos calcular el conjunto correspondiente de vectores en la intersección que estamos buscando, simplemente calculando $w_iequiv Ux_i=Vy_i$ para cada $i$.
Ahora para demostrar que $w_i_i$ es linealmente independiente. Suponer $sum_i c_i w_i=0$. Después $U(sum_i c_i x_i)=0$ y $V(sum_i c_i y_i)=0$. Pero porque $nombre del operadorKer(U)=nombre del operadorKer(V)= $esto significa que $sum_i c_i x_i=sum_i c_i y_i=0$. Pero esto es, a su vez, equivalente a $sum_i c_i X_i=0$y porqué $X_i$ es un conjunto linealmente independiente, esto implica $c_i=0$.
Concluimos que $w_i$dónde $w_iequiv U x_i=V y_i$ y $(x_i, y_i)_i$ es una base para $nombre del operadorKer[(U|-V)]pses una base para $mathcal U capmathcal V$.