Investigamos por el mundo online para tenerte la respuesta a tu dilema, si continúas con dificultades deja tu inquietud y te responderemos con mucho gusto.
Solución:
Sea $ X $ $ mathbb N $ en la topología cofinita, que tiene como conjuntos cerrados los conjuntos finitos y el propio $ X $. Esto es hereditario: si $ A subseteq X $, su topología subespacial también es cofinita.
Cualquier espacio cofinito infinito $ X $ es irreducible (solo podemos escribirlo como $ A cup B $ ambos cerrados y no todo el espacio si $ A $ y $ B $, y por lo tanto $ X $ es finito.
Entonces, los números pares en $ X $ son irreducibles pero no al máximo (ya que $ X $ en sí mismo es más grande y también irreducible):
$ A $ es un componente irreducible de $ X $ si $ A $ es irreducible y por cada $ A subseteq B subseteq X $: si $ B $ es irreducible, $ A = B $.
Probablemente sea el caso de que $ F subset X $ sea un conjunto irreducible máximo si es irreducible y se cumple la siguiente implicación: $$ F subset A text y A text es irreducible implica F = A $$
Ejemplo: considere $ X = 0,1 $ con la topología discreta. El conjunto $ 1 $ es un componente irreducible.
Sea $ F $ un componente irreducible. Demostremos que $ overline F $ es irreducible. Suponga que no y escriba $ overline F = A cup B $ donde $ A $ y $ B $ son subconjuntos cerrados adecuados de $ overline F $. Tenemos $ A = A ‘ cap overline F $ y $ B = B’ cap overline F $ donde $ A ‘$ y $ B’ $ están cerrados en $ X $. Sea $ A ” = A ‘ cap F $ y $ B’ ‘= B’ cap F $. Tenemos que $ A ” $ y $ B ” $ están cerrados en $ F $ y: $$ A ” cup B ” = (A ‘ cup B’) cap F = (A ‘ cup B ‘) cap overline F cap F = [(A’ cap overline F) cup (B’ cap overline F)] cap F = (A cup B) cap F = overline F cap F = F $$
También tenga en cuenta que si $ A ” = F $, entonces $ F subset A ‘$, por lo tanto $ overline F subset overline A’ = A ‘$, entonces $ A = overline F $, una contradicción. De manera similar, obtenemos que $ A ” $ y $ B ” $ son subconjuntos propios de $ F $. También es evidente que no están vacíos. Por tanto, $ F $ es reducible, una contradicción. Por lo tanto, $ overline F $ es irreducible y, por tanto, $ F = overline F $, por lo que $ F $ está cerrado.
Para comprobar si un subconjunto $ F subseteq X $ es irreducible, se considera como su propio espacio topológico a través de la topología inducida. Así que aislamos el conjunto $ F $, le damos la topología inducida (¡olvidándonos de muchas cosas sobre $ X $!) Y comprobamos si ese nuevo espacio es irreducible. Pero podría darse el caso de que mientras que $ F $ considerado como un espacio sea irreducible, $ F cup G $ también sea irreducible para algún otro subconjunto $ G subseteq X $.
Como ejemplo, tome el conjunto $ X = 0, ldots, n $ con la topología aproximada donde los únicos conjuntos cerrados son $ emptyset $ y $ X $. Aquí ningún subconjunto $ F subseteq X $ volverá a ser tosco y, por lo tanto, irreducible, por lo que un subconjunto máximo es $ X $. Puede hacer un ejemplo similar usando la topología de Zariski: circule parte de una curva irreducible en una página: ese trozo encerrado en un círculo debería ser irreductible como espacio topológico, pero ciertamente no es máximo.
Reseñas y valoraciones
Al final de la web puedes encontrar los comentarios de otros gestores de proyectos, tú asimismo puedes dejar el tuyo si te apetece.