Nuestros mejores investigadores han agotado sus depósitos de café, buscando día y noche por la solución, hasta que Natalia encontró el hallazgo en Gogs y ahora la comparte contigo.
Solución:
Solo para mostrar que no es del todo difícil o confuso demostrar que $fcolon [0..1) → ℝ,~x ↦ frac 1 1 – x$ is not uniformly continuous using the $ε$–$δ$-definition:
Since $(0..1] → [0..1),~x ↦ 1 – x$ is uniformly continuous and uniform continuity is stable under composition, it suffices to show that $f colon (0..1] → ℝ,~x ↦ frac 1 x$ es no uniformemente continuo.
Para esto, arregla $ε = 1$. Entonces para cualquier $δ > 0$ con $δ < 1$, dejar $x = δ$ y $x’ = frac δ 2$. Entonces claramente $|x – x’| < δ$, mientras que $|1/x – 1/x’| = 1/δ ≥ 1 = ε$. Para $δ ≥ 1$, escoger $x = 1$ y $x’ = frac 1 2$.
Ahora con respecto a tu pregunta. Para mostrar la equivalencia de $ε$–$δ$-definición y la definición secuencial de continuidad para espacios métricos, se necesita el Axioma de Elección Contable. (Y para mostrar la equivalencia de la definición de vecindad generalizada y la definición de red, creo que se necesita el axioma de elección completo).
Es decir, la equivalencia no es constructiva. Esto ya deja en claro que ninguno de los enfoques es en sí mismo más útil para todos los casos, pero es el equivalencia de estos enfoques que es realmente útil: pensar de manera no constructiva es difícil y tener dos idiomas para hablar sobre el mismo fenómeno desde dos lugares separados constructivamente que ya han sido unidos por un puente ahorra el esfuerzo de construir un nuevo puente cada vez que parece útil para cambiar de perspectiva.
Filosóficamente, diría que el $ε$–$δ$-la perspectiva de continuidad y la continuidad uniforme captan estas nociones de manera más directa, mientras que la perspectiva de éstas desde secuencias y red es más indirecta, como si dijera: “No hay contraejemplo de secuencias tales que convergen aquí, pero no allí. ¡Tal cosa salvaje no existe!” Esto hace que esta perspectiva sea perfecta para el ámbito de los contraejemplos. Las pruebas que usan secuencias tienden a ser pruebas indirectas, usando contradicción. A menudo se trata de suponer que algo no es true y luego, a menudo de manera no constructiva, eligiendo una secuencia de contraejemplo.
El $ε$–$δ$-la perspectiva, sin embargo, no solo se generaliza más fácilmente a espacios más abstractos, sino que también encuentro que es más fácil pensar conceptualmente. Por ejemplo, me resultó absurdamente difícil pensar en cómo probar que los mapas continuos son uniformemente continuos en conjuntos compactos cuando pensaba en esto secuencialmente, mientras que es muy claro a partir de la $ε$–$δ$-perspectiva. Tal vez sea una cuestión de socialización, pero es más fácil para mí ver cosas desde esta perspectiva. Otro ejemplo sería que los subgrupos abiertos de grupos topológicos compactos (que son espacios uniformes) son subgrupos exactamente cerrados de índice finito. Es obvio desde esta perspectiva, no tanto desde la otra.
En resumen: los espacios topológicos pueden ser realmente extraños, lo que hace que la topología teórica de conjuntos sea un estudio de cosas extrañas. si quieres hacer ordenado topología, entonces podría convertirse en un estudio sobre cómo algunas cosas extrañas son no sucediendo. Eso hace que el enfoque secuencial sea un poco más poderoso, aunque menos conceptual.
Y cada vez que encuentre una extensión de esta equivalencia, como la equivalencia de compacidad y compacidad secuencial, espere que las pruebas no sean constructivas.
Bueno, solo está sustituyendo la definición secuencial de un enfoque de límite versus un enfoque de vecindad y luego aplicándolo a la continuidad. En cuanto a por qué eso no se hace en general, citaré a Anthony E. Labarre, Jr. Análisis Matemático Intermedio, página 67:
Por otro lado, destacamos que el enfoque de vecindad suele ser más conveniente en las investigaciones teóricas. De hecho, en el marco abstracto de un espacio topológico, el “límite secuencial” y el “límite de vecindad” no son conceptos equivalentes y, además, el concepto de “límite secuencial” resulta inadecuado.
Los comentarios proporcionan algunos ejemplos de espacios topológicos en los que no son equivalentes.
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