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Solución:
La forma corta de Weierstrass para una curva elíptica $E$ sobre un campo $K$ de característica distinta de $2$ o $3$ está dada por $y^2=x^3+ax+b$, tal que el discriminante $Delta= -16(4a^3+27b^2)$ es distinto de cero, consulte http://en.wikipedia.org/wiki/Elliptic_curve. Sin embargo, la definición general de una curva elíptica es que $E$ es una curva suave de grado $3$ sobre $K$, lo que significa que está dada por una ecuación $$ y^2+a_1xy+a_3y=x^3+a_2x^ 2+a_4x+a_6. $$ Ahora se puede demostrar que siempre podemos asumir que $a_1=a_3=a_2=0$ mediante sustituciones inteligentes, siempre que $2neq 0$ y $3neq 0$ en $K$.
La definición “correcta” de un curva elíptica definida sobre un campo $K$ es que es un par $(E,mathcalO)$, donde $E$ es una curva algebraica suave de género 1 y donde $mathcalO$ es un punto en $E(K)$. Uno entonces tiene varios teoremas que dan hechos como los siguientes:
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Hay morfismos $mu:Etimes Eto E$ y $iota:Eto E$ definidos sobre $K$ que hacen de $E$ una variedad de grupo con elemento de identidad $mathcalO$, es decir, $mu$ es la ley de grupo y $iota$ es la inversión.
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Hay una incrustación $phi:Ehookrightarrowmathbb P^2$ tal que la imagen es una curva de la forma $$ Y^2Z + a_1XYZ+a_3YZ^2 = X^3+a_2X^2Z+a_4XZ^2 +a_6Z^3 $$ con $a_1,ldots,a_6en K$.
- Si $textchar(K)ne2$, entonces aquí hay una incrustación de $phi:Ehookrightarrowmathbb P^2$ tal que la imagen es una curva de la forma $$Y^2Z=X^ 3+aX^2Z+bXZ^2+cZ^3$$ con $a,b,cen K$.
- Si $textchar(K)ne2,3$, entonces aquí hay una incrustación de $phi:Ehookrightarrowmathbb P^2$ tal que la imagen es una curva de la forma $$Y^2Z= X^3+AXZ^2+BZ^3$$ con $A,Ben K$.
Tenga en cuenta, sin embargo, que incluso si está trabajando en un campo como $mathbb Q$, es posible que desee utilizar la ecuación más general con coeficientes enteros para poder reducir el módulo $2$ y $3$ y tener un (mejor ) posibilidad de seguir siendo no singular.
También tenga en cuenta que hay muchas otras incrustaciones de curvas elípticas en espacios proyectivos de varias dimensiones. Un buen ejemplo es la intersección de dos superficies cuádricas en $mathbb P^3$. Es por eso que es demasiado restrictivo definir una curva elíptica como dada por una ecuación de algún tipo particular en algún espacio proyectivo particular.