Te traemos el arreglo a esta impedimento, al menos eso deseamos. Si tienes inquietudes coméntalo y sin dudar
Solución:
Hay muchas maneras de caracterizar la suavidad de una curva.
Por lo general, las personas usan la notación $C^(n)(Omega)$ donde $n in mathbbN$.
Entonces, cuando decimos $f(x) in C^(n)(Omega)$, queremos decir que $f(x)$ tiene $n$ derivadas en todo el dominio ($Omega$ denota el dominio de la función) y la derivada $n^th$ de $f(x)$ es continua, es decir, $f^n(x)$ es continua.
También por convención, si $f(x)$ es simplemente continua, entonces decimos $f(x) in C^(0)(Omega)$.
Además, $f(x) in C^(infty)$ si la función es diferenciable cualquier número de veces. Por ejemplo, $e^x in C^(infty)$
Un ejemplo para ilustrar es considerar la siguiente función $f: mathbbR rightarrow mathbbR$. $$f(x) = begincasos0, &mboxsi x leq 0 \ x^2, &mboxsi x>0endcasos$$
Esta función está en $C^(1)(mathbbR)$ pero no en $C^(2)(mathbbR)$.
Cuando el dominio de la función es el conjunto más grande sobre el cual tiene sentido la definición de la función, omitimos $Omega$ y escribimos que $f in C^(n)$, entendiendo por dominio el conjunto más grande sobre el cual la definición de la función tiene sentido.
Tenga en cuenta que $C^(n) subseteq C^(m)$ siempre que $n>m$.
EDITAR:
En el caso del teorema de Green, cuando aplicamos la fórmula $$oint_c (L,dx + M,dy) = iint_D left(fracpartial Mpartial x – fracpartial Lpartial yright),dx,dy$$ necesitamos $L,M in C^1(Omega)$, donde $Omega$ es un dominio que contiene la curva y el interior de la curva a saber $D$.
La curva cerrada simple $C$ debe ser uniforme por partes o, de manera más general, la curva $C$ debe estar en $C^(0)$.
Decimos que la curva $C$ es una curva suave por tramos cuando se cumplen las dos condiciones siguientes:
(i) $C in C^(0)$
(ii) El dominio sobre el que se define la curva se puede dividir en subconjuntos separados de modo que la curva esté en $C^(infty)$ (o lo suficientemente suave, es decir, la curva esté en $C^(n) $ por unos $n$ hasta los que estamos interesados) sobre cada uno de estos subconjuntos.
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