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Solución:
Si elimina algunos puntos (no singulares) de la curva $y^2=x^3$, obtienes un cúbico singular que todavía es afín (es un subconjunto afín abierto), pero no es isomorfo a la curva original. De hecho, cualquier isomorfismo induciría un isomorfismo entre los lugares geométricos regulares de las curvas. Estos loci son solo líneas proyectivas menos un número finito de puntos, y la clase de isomorfismo determina el número de puntos que faltan.
EDITAR. Este argumento es en parte relevante porque olvidé que el OP solicita afines plano curvas. Sin embargo, se puede dar un contraejemplo a la pregunta del OP.
Tenga en cuenta que los cúbicos $y^2=x^3$ y $y^2=x^3+x^2$ tienen un solo punto en el infinito. Probemos con un plano singular cúbico con tres puntos en el infinito. Considere la familia de las cúbicas planas
$$C_k : x^3+y^3+kxy+1=0.$$
Las fibras singulares están dadas por $k en -3,-3zeta_3, -3overlinezeta_3$. por ejemplo, cuando $k=-3$ el (único) punto singular es $(x,y)=(1,1)$ y es un nodo. El lugar regular de $C_-3$ es isomorfo a la línea proyectiva menos 5 puntos, por lo tanto $C_-3$ no puede ser isomorfo a los cúbicos anteriores. no se sin embargo si $C_-3$ (u otras curvas cúbicas planas singulares) pueden ser isomorfas para abrir subconjuntos de estas dos cúbicas.
EDITAR 2. Un ejemplo más simple lo da el folium de Descartes $x^3+y^3=3axy$ para cualquier $a neq 0$. Tiene el punto nodal singular $(0,0)$ y de nuevo 3 puntos en el infinito.
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