Nuestros programadores estrellas han agotado sus depósitos de café, en su búsqueda noche y día por la respuesta, hasta que Ximena encontró el arreglo en GitHub y ahora la comparte con nosotros.
Solución:
Ante la pregunta ¿Por qué una diagonalización de una matriz B con la base de una matriz conmutada A da una matriz diagonal de bloques? puede ver por qué una base que consta de vectores propios para $A$ también diagonalizará $B$.
Dado que todas las matrices que conmutan con $A$ están diagonalizadas por una base de vectores propios para $A$ y, a la inversa, cualquier matriz diagonalizada por una base de vectores propios para $A$ conmuta con $A$, el conjunto de matrices que conmutan con $A $ forma un subespacio vectorial de $M_n$ de dimensión $n$. Las matrices $I,A,A^2,ldots,A^n-1$ se encuentran en este subespacio. Puede demostrar que estas matrices son linealmente independientes usando los hechos de que $A$ tiene $n$ valores propios distintos, y que un polinomio distinto de cero de grado como máximo $n-1$ sobre un campo puede tener como máximo $n-1$ ceros . Espero que eso ayude.
En el marco de la pregunta, el polinomio $gin K[X]$ de grado $ < n$ tal que $B=g(A)$ viene dada por la fórmula de interpolación de Lagrange. [Here $K$ is the ground field.] De hecho, siendo $a_i$ y $b_i$ los valores propios de $A$ y $B$ (numerados de manera coherente), tenemos $$ g(X)=sum_i=1^n b_i prod_jnot=i fracX-a_ja_i-a_jquad. $$
Más generalmente, sean $A,Bin M_n(K)$ dos matrices $n$ por $n$ con coeficientes en un campo $K$, sean $fin K[X]Sea $ el polinomio mínimo de $A$, y sea $d$ su grado. Claramente:
(1) Si $B$ es un polinomio en $A$, entonces hay un único polinomio $gin K[X]$ de grado menor que $d$ tal que $B=g(A)$.
Sean $e_1,dots,e_r$ los idempotentes mínimos de $K[A]simeq K[X]/(f)$ [canonical isomorphism], y pon $V_i:=e_iK^n$. Entonces $K^n$ es la suma directa de $V_i$. Sea $A_i$ la restricción de $A$ a $V_i$. Entonces hay polinomios mónicos irreducibles distintos $f_i$, y hay enteros positivos $m_i$, tales que $K[A_i]simeq K[X]/(f_i^m_i)$ [canonical isomorphism], y $f$ es el producto de $f_i^m_i$.
Suponga que $A$ y $B$ viajan diariamente. Entonces $BV_isubconjunto V_i$ para todos los $i$. Sea $B_i$ la restricción de $B$ a $V_i$.
Entonces $B$ es un polinomio en $A$ si y solo si cada $B_i$ es un polinomio en $A_i$.
Más precisamente, si $B_i=g_i(A_i)$, el polinomio $g$ de (1) es la única solución de grado menor que $d$ de las congruencias $$ gequiv g_i bmod f_i^m_i $$ (ver el Teorema chino del resto).
Si los valores propios de $A$ están en $K$ (como siempre se puede suponer), las $f_i$ tienen grado $1$ y las congruencias se pueden resolver mediante la fórmula de Taylor. Más precisamente, si $f_i=X-a_i$, entonces $$ g(X)=sum_i=1^r T_ileft(g(X)frac(X-a_i)^m_i f(X)right)fracf(X)(X-a_i)^m_iquad, $$ donde $T_i(h(X))$ significa “grado menor que $ m_i$ Aproximación de Taylor de $h(X)$ en $X=a_i$”. [Note that $V_i$ is the $a_i$-generalized eigenspace.]
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