Ya no tienes que investigar más en internet ya que has llegado al lugar indicado, contamos con la solución que necesitas pero sin problema.
Solución:
Simplemente escribiendo la multiplicación de matrices y simplificando obtienes: beginalign* AB &= BA\ beginbmatrix 3 & 1 &0 \ 0 &3 & 1\ 0 &0 & 3 endbmatrix beginbmatrix b_11 & b_12 & b_13 \ b_21 & b_22 & b_23 \ b_31 & b_32 & b_33 \ endbmatrix &= beginbmatrix b_11 & b_12 & b_13 \ b_21 & b_22 & b_23 \ b_31 & b_32 & b_33 \ endbmatrix beginbmatrix 3 & 1 &0 \ 0 &3 & 1\ 0 &0 & 3 endbmatrix\ beginbmatrix 3b_11 + b_21 & 3b_12 + b_22 & 3b_13+b_23 \ 3b_21 + b_31 & 3b_22 + b_32 & 3b_23+b_33 \ 3b_31 & 3b_32 & 3b_33 endbmatriz &= beginbmatriz 3b_11 & b_11+3b_ 12 y b_12 + 3b_13 \ 3b_21 y b_21+3b_22 y b_22 + 3b_23 \ 3b_31 y b_31 +3b_32 & b_32 + 3b_33 endbmatrix \ beginbmatrix b_21 & b_22 & b_23 \ b_31 & b_ 32 & b_33 \ 0 & 0 & 0 endbmatriz &= beginbmatriz 0 & b_11 & b_12 \ 0 & b_21 & b_22 \ 0 & b_31 & b_32 endbmatriz endal ign* Por lo tanto, $b_21,b_31,b_32=0$, $b_11=b_22=b_33$ y $b_12=b_23 $, confirmando que las soluciones son exactamente las dadas por Robert.
Dado que $$A=3operatornameId_3+beginpmatrix0&1&0\0&0&1\0&0&0endpmatrix$$ y cada matriz conmuta con $3operatornameId_3$, está buscando el matrices que conmutan con $$beginpmatrix0&1&0\0&0&1\0&0&0endpmatrix.tag1$$Un cálculo simple muestra que beginmultilinebeginpmatrixa&b&c\d&e&f\g&h&i endpmatrixbeginpmatrix0&1&0\0&0&1\0&0&0endpmatrix-beginpmatrix0&1&0\0&0&1\0&0&0endpmatrixbeginpmatrixa&b&c\d&e&f g&h&iendpmatrix=\=beginpmatrixd & ea & fb \ g & hd & ie \ 0 & -g & -hendpmatrixendmultliney por lo tanto el matriz$$beginpmatrixa&b&c\d&e&f\g&h&iendpmatrix$$conmuta con $(1)$ si y solo si$$left{begin{arrayld=g=h=0\a=e=i\f=b.endarrayright.$$Por lo tanto, la respuesta a su pregunta es:$$left\,a,b,c inmathbbRright.$$
Los polinomios en $A$ siempre conmutan con $A$. En este caso, estos serán triangulares superiores con diagonales constantes, es decir, $$ pmatrixa & b & ccr 0 & a & bcr 0 & 0 & a$$ Querrá mostrar que estos son todos las soluciones.
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