Te traemos la respuesta a esta interrogante, o por lo menos eso esperamos. Si tienes interrogantes dínoslo y con gusto te ayudaremos
Solución:
Cuando los expande, ve que solo uno de los polinomios de Bernstein tiene un término constante distinto de cero, a saber $binom nn(1-x)^n$. Así que si$$sum_k=0^nalpha_kB_n,k(x)=0,tag1$$después $alfa_0=0$.
Ahora, solo hay dos polinomios de Bernstein tales que el coeficiente de $x$ es distinto de cero, que son $B_n,0(x)$ y $B_n,1(x)$. pero tu ya sabes eso $alfa_0=0$. Se sigue entonces de $(1)$ que $alfa_1=0$.
Y así…
Insinuación: La matriz que expresa los polinomios de Bernstein con respecto a la base monomial canónica es triangular con una diagonal de coeficientes binomiales, por lo que es invertible.
Por ejemplo, cuando $n=3$, tenemos $$ beginpmatrix B_3,0(x) \ B_3,1(x)\ B_3,2(x) \ B_3,3(x) endpmatrix = beginpmatrix (1-x)^3 \ 3x(1-x)^2 \ 3x^2(1-x) x^3 endpmatrix = beginpmatrix 1 & -3 & hphantom-3 & hphantom-1 \ 0 & hphantom-3 & -6 & hphantom -3 \ 0 & hphantom-0 & hphantom-3 & -3 \ 0 & hphantom-0 & hphantom-0 & hphantom-1 \ endpmatrix beginpmatrix 1 \ x \ x^2 \ x^3 endpmatrix $$ Las entradas exactas en la matriz no son importantes. los key El punto es que el factor $x^k$ en $B_n,k(x)$ asegura que en la fila $k$-ésima todas las entradas antes de la diagonal sean cero, por lo que la matriz es triangular.