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Solución:
Como dice @ThomasAndrews, no necesita reorganizar nada. Primero, elimine la parte no periódica al principio. Será un número racional. Ahora toma la parte periódica, digamos del período $N$. Luego, la parte que no quitaste tiene la forma $A + Ap^N + Ap^2N +Ap^3N+cdots$, una serie geométrica con razón común $p^N$. Dado que esta razón es $p$-adicamente más pequeña que $1$, la serie es convergente y la parte periódica tiene un valor racional $A/(1-p^N)$, hecho.
A $,p-$la serie ádica converge si su secuencia de términos generales converge a cero (¡este es el sueño de todo estudiante de primer año!), por lo que en este caso la convergencia de la serie es automática ya que
$$a_np^nxrightarrow [ntoinfty]0$$
La periodicidad de los coeficientes $,a_n,$ ahora danos que el límite debe ser racional (y es posible reorganizar los términos de la serie ya que la convergencia aquí es absoluta: qué es true porque el valor absoluto habitual es true Para el $,p-$valor añadido también… ya veces las cosas se ponen mejor en este último).
En este caso, en realidad estás agrupando las sumas en subsumas finitas. Entonces, si sabes que $sum_k=n^infty b_k$ existe, entonces dada cualquier secuencia de números naturales crecientes $n=n_0
Básicamente, haces lo mismo, de hecho, es exactamente la misma prueba, para demostrar que cualquier número real con expansión decimal periódica es racional.
No lo es true que si $sum c_i$ us convergente entonces $sum b_k$ existe. Pero en números $p$-ádicos, sabemos que $sum b_k$ existe si y solo si $b_kto 0$. Probar esto varía, dependiendo de cómo se definan los números $p$-ádicos.
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