Te damos la bienvenida a nuestro espacio, en este lugar vas a hallar la solucíon a lo que necesitas.
Solución:
Definir
L = (1/2) (D[#, x] + D[#, y]) &
Vemos eso L funciona como se desea. Por ejemplo:
Simplify[Nest[L, f[x, y], 3]]
(* (Derivative[0, 3][f][x, y] + 3*Derivative[1, 2][f][x, y] + 3*Derivative[2, 1][f][x, y] +
Derivative[3, 0][f][x, y])/8 *)
Y el Sum puede construirse de manera similar. Por ejemplo:
Simplify[Sum[Nest[L, f[x, y], n], n, 0, 3]]
(* (8*f[x, y] + 4*Derivative[0, 1][f][x, y] + 2*Derivative[0, 2][f][x, y] +
Derivative[0, 3][f][x, y] + 4*Derivative[1, 0][f][x, y] +
4*Derivative[1, 1][f][x, y] + 3*Derivative[1, 2][f][x, y] + 2*Derivative[2, 0][f][x, y] +
3*Derivative[2, 1][f][x, y] + Derivative[3, 0][f][x, y])/8 *)
Actualizar
Como señaló amablemente @b.gates… en el comentario a continuación, el cálculo del resultado final se puede simplificar con NestList. (¡Gracias!)
Simplify[Total[NestList[L, f[x, y], 3]]]
Aquí hay una función makeOperator que toma cualquier polinomio junto con una regla de reemplazo que asigna la variable deseada al operador deseado. Muestra el resultado como un nuevo operador:
Clear[makeOperator];
makeOperator[poly_, Rule[x_, op_]] /; PolynomialQ[poly, x] :=
Module[f,
Function[#1, #2] & @@ f, Expand[poly] /.
Power[x, n_: 1] :> Nest[op, f, n]]
Defino operadores usando Function. Ya que eso tiene attribute HoldAlllos reemplazos necesarios en el polinomio deben hacerse fuera del Function cuerpo, y se inyectan después usando Apply (@@). El patrón Power[x, n_: 1] detecta potencias de la variable (incluidas las primeras potencias) y las reemplaza por Nest. Expand se asegura de que el polinomio esté en forma canónica antes de hacer los reemplazos, en particular elimina los paréntesis como $x(x+c)$.
Aquí hay una prueba con el operador. L en la pregunta, y un polinomio de Hermite:
Clear[x, y];
L = Function[f, D[f, x] + D[f, y]];
hp = HermiteH[5, x]
(* ==> 120 x - 160 x^3 + 32 x^5 *)
hpOp = makeOperator[hp, x -> L];
hpOp[ψ[x, y]]
$$120 left(fracparcial psi parcial x+fracparcial psi parcial yright)\ -160 left(3 fracparcial ^3 psi parcial x^2, parcial y+3 fracparcial ^3psi parcial x, parcial y^2+fracparcial ^3psi parcial x^3+fracparcial ^3psi parcial y^3right)\+32 left(5 fracparcial ^5psi parcial x ^4, parcial y+10 fracparcial ^5psi parcial x^3, parcial y^2+10 fracparcial ^5psi parcial x ^2, parcial y^3+5 fracparcial ^5psi parcial x, parcial y^4+fracparcial ^5psi parcial x^ 5+fracparcial ^5psi parcial y^5right)$$
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