Posterior a consultar con expertos en la materia, programadores de deferentes áreas y maestros dimos con la respuesta a la pregunta y la compartimos en este post.
Solución:
Pista: escríbelo como $,(x^2+1)+cfrac1x^2+1-1,$ y usa $,a+cfrac1age 2 ,$ por $,a ge 1,$.
Claramente, el rango es todo positivo ya que ambos términos son positivos. A medida que $x$ crece, pasa a $+infty$, por lo que solo necesita encontrar el mínimo. Toma la derivada, ponla a cero, encuentra el mínimo y listo.
Primero observe que la función es par, es decir $f(x) = f(-x)$.
Me gustaría mostrar que $1$ es el límite superior o inferior de la función. Tenemos $f(0) = 1$, y resolver la ecuación $f(x) = 1$ da solo una solución. Suponga que hay dos números reales $a$ y $b$ tales que $f(a) < 1 < f(b)$. Si alguno de ellos es negativo, simplemente use $f(x) = f(-x)$ y cambie su signo, asumiendo WLOG que ambos son positivos. Por el teorema del valor intermedio debe haber un $c$ entre $a$ y $b$ tal que $f(c) = 1$, pero como $0 < c$ esto es una contradicción. Por lo tanto, todos los números reales en el rango deben estar del mismo lado de $1$.
Como $x^2 < f(x)$ y $x^2 to infty$ como $x to infty$ debemos tener $f(x) to infty$ como $x to infty$ .
De esto podemos concluir que el rango de la función es $[1;infty[$[1;infty[$
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