Luego de investigar con expertos en la materia, programadores de varias ramas y profesores hemos dado con la respuesta a la pregunta y la plasmamos en esta publicación.
Solución:
Esta es una gran pregunta. Muestra en pocas palabras por qué el análisis debe realizarse en el plano complejo, no en la línea real.
La función $f(x) = dfrac11+x^2$ está definida en todas partes de la línea real, como señalaste, pero no está definida en todas partes del plano complejo. En particular, no está definido en $x=i$ o $-i,$ porque el denominador se convierte en $0$ para esos valores de $x.$
La serie de Maclaurin para esta función, $sum_n=0^infty (-1)^nx^2n,$ tiene un círculo de convergencia en el plano complejo, centrado en el origen. Este círculo no puede tener un radio mayor a $1,$ ya que la serie no converge en $i$ y $-i,$ que están a una distancia de $1$ del origen.
De hecho, el círculo de convergencia de esta serie de potencias es el círculo unitario. Eso significa que convergerá en todas partes dentro del círculo unitario y divergirá en todas partes fuera del círculo unitario. (En cuanto a los puntos en la circunferencia del círculo, tendría que mirar más de cerca para ver en cuál de ellos converge y en cuál diverge).
Para completar, debo agregar que no todas las series de Maclaurin tienen un círculo de convergencia: algunas convergen en todas partes y otras convergen solo en el origen. Pero entre estos dos extremos, habrá un círculo centrado en el origen tal que la serie converge dentro del círculo y diverge fuera del círculo (con los puntos en la circunferencia que requieren mayor investigación).
La serie $sum_n=0^infty (-1)^nx^2n$ es la representación en serie de potencias sobre $(-1,1)$ de la función $f(x)=frac 11+x^2$.
La serie no representa la función $f$ para $|x|ge 1$.
Podemos encontrar una representación en serie de $f(x)$ que sea válida para $|x|>1$. Para ello escribimos
$$beginalign frac11+x^2&=frac1x^2frac11+1/x^2\\ &=frac1 x^2sum_n=0^infty (-1)^nx^-2n\\ &=sum_n=0^infty (-1)^nx^ -2(n+1) endalinear$$
que converge para todo $|x|>1$ y diverge en otros lugares.
Tenga en cuenta que la última serie se da en términos de potencias recíprocas de $x^2$. Si $x$ se extiende para ser complejo, esta es la serie de Laurent para $|x|>1$.
Una interpretación más gráfica para este caso. No es una prueba, más ideas.
Principalmente porque $f$ es una función que tiende a $0$ en $pm infty$. Este no es un comportamiento natural de los polinomios, y menos cuando tienen grados más altos.
Sin embargo, la función es muy fluida lejos de $pm infty$, es decir, alrededor de $0$. Aquí, los polinomios de grado superior se ajustan mucho mejor a la función, incluso más en grados superiores. Esto se ilustra en la siguiente imagen, la superior muestra que el comportamiento es muy diferente entre las vecindades de $0$ o $+ infty$, la inferior solo en la vecindad de $0$.
La calidad de la aproximación, y el radio de convergencia, está altamente relacionado con el comportamiento de los coeficientes $a_n$ al multiplicar los términos $x^n$. Aquí, la razón por la que el borde está en $x=1$ se debe al hecho de que tiene $|a_n|=1$, lo que conduce a una divergencia de la serie en $x=pm 1$. Si los coeficientes disminuyeran a una velocidad diferente (por ejemplo, $|a_n|sim frac1r^n$), esto modificaría el radio de convergencia a $r$.
Recuerda que puedes comunicar este enunciado si te ayudó.