Luego de tanto luchar hemos dado con el resultado de esta pregunta que tantos lectores de este sitio tienen. Si tienes algo que compartir puedes compartir tu comentario.
Solución:
Una razón es que podemos aproximar las soluciones a las ecuaciones diferenciales de esta manera: por ejemplo, si tenemos
$$y”-x^2y=e^x$$
Resolver esto para $y$ sería difícil, si es posible. Pero al representar $y$ como una serie de Taylor $sum a_nx^n$, podemos mezclar las cosas y determinar los coeficientes de esta serie de Taylor, lo que nos permite aproximar la solución alrededor de un punto deseado.
También es útil para determinar varias sumas infinitas. Por ejemplo:
$$frac 1 1-x=sum_n=0^infty x^n$$ $$frac 1 1+x=sum_n=0^infty (-1 )^nx^n$$ Integra: $$ln(1+x)=sum_n=0^infty frac(-1)^nx^n+1n+1 $$ Sustituyendo $x=1$ da
$$ln 2=1-frac12+frac13-frac14+frac15-frac16cdots$$
También hay aplicaciones en física. Si un sistema bajo una fuerza conservativa (uno con una función de energía asociada, como la gravedad o la fuerza electrostática) está en un punto de equilibrio estable $x_0$, entonces no hay fuerzas netas y la función de energía es cóncava hacia arriba (la energía es más alto en ambos lados es esencialmente lo que lo hace estable). En términos de la serie de Taylor, la función de energía $U$ centrada alrededor de este punto es de la forma
$$U(x)=U_0+k_1(x-x_0)^2+k_2(x-x_0)^3cdots$$
Donde $U_0$ es la energía al mínimo $x=x_0$. Para desplazamientos pequeños, los términos de orden superior serán muy pequeños y se pueden ignorar. Entonces podemos aproximarnos a esto mirando solo los dos primeros términos:
$$U(x)aprox. U_0+k_1(x-x_0)^2cdots$$
Ahora la fuerza es la derivada negativa de la energía (las fuerzas te envían de mayor a menor energía, proporcionalmente a la caída de energía). Aplicando esto, obtenemos que
$$F=ma=mx”=-2k_1(x-x_0)$$
Reformulando en términos de $y=x-x_0$:
$$mi”=-2k_1y$$
¿Cuál es la ecuación de un oscilador armónico simple? Básicamente, para pequeños desplazamientos alrededor ninguna equilibrio estable el sistema se comporta aproximadamente como un resorte oscilante, con comportamiento sinusoidal. Entonces, bajo ciertas condiciones, puede reemplazar un sistema potencialmente complicado por otro que se comprenda y estudie muy bien. Puedes ver esto en un péndulo, por ejemplo.
Como punto final, también son útiles para determinar los límites:
$$lim_xto0fracsin xxx^3$$ $$lim_xto0fracx-frac16x^3+frac 1120x^ 5cdots-xx^3$$ $$lim_xto0-frac16+frac 1120x^2cdots$$ $$-frac16$$
que de otro modo habría sido relativamente difícil de determinar. Debido a que los polinomios se comportan mucho mejor que otras funciones, podemos usar las series de Taylor para determinar información útil que sería muy difícil, si es que es posible, determinar directamente.
EDITAR: Casi olvido mencionar al abuelo:
$$e^x=1+x+frac12x^2+frac16x^3+frac124x^4cdots$$ $$e^ix=1+ix-frac12x^2-i frac16x^3+frac124x^4cdots$$ $$=1-frac12x^2+frac124x^4cdots + ix-ifrac16x^3+ifrac1120 x^5cdots$$ $$=cos x+isen x$$ $$e^ix=cos x+isen x$$
Cuál es probablemente la ecuación más importante en el análisis complejo. Este solo debería ser suficiente motivación, los otros son realmente solo la guinda del pastel.
En la era de las calculadoras, a menudo no nos damos cuenta de lo profundamente no trivial que es obtener una buena aproximación arbitraria para un número como $e$, o mejor aún, $e^sin(sqrt2)$. Resulta que en el gran esquema de las cosas, $e^x$ no es una función muy desagradable en absoluto. Desde su analíticoes decir, tiene una serie de Taylor, si queremos calcular sus valores, solo calculamos los primeros términos de su expansión de Taylor en algún punto.
Esto tiene mucho sentido para calcular, por ejemplo, $e^1/2: 1+1/2+1/2!(1/2)^2+1/3!(1/2)^3+. ..$ obviamente va a converger muy rápidamente: $1/4!2^4<1/100$ y $1/5!2^5<1/1000$, por lo que sabemos, por ejemplo, que podemos obtener $e^1 /2$ a $2$ lugares decimales sumando los primeros $5$ términos de la expansión de Taylor.
Pero, ¿por qué debería funcionar esto para calcular algo como $e^100$? Ahora la expansión se ve como $1+100+100^2/2+100^3/3!+…$, e inicialmente explota increíblemente rápido. Aquí es donde las funciones analíticas realmente muestran cuán especiales son: los denominadores $n!$ crecen tan rápido que no importa qué $x^n$ tengamos en los numeradores, en poco tiempo la serie convergerá. Esa es la esencia de la aproximación de Taylor: las funciones analíticas son aquellas que son irrazonablemente cerca a polinomios.
Hay métodos mucho más rápidos para obtener aproximaciones como la de $sqrte$, en teoría: usar el método de Newton para resolver $x^2-e=0$ te dará una aproximación a $sqrte$ exacto a un número de lugares que va como el cuadrado del número de iteraciones que has hecho. Pero, ¿cómo aplicamos aquí el método de Newton? La primera fórmula es $$x_1=x_0-frac2x_0x_0^2-e$$ Entonces, si queremos una expansión decimal de $sqrte$, será mejor que podamos obtener una de $x_0^2-e$. ¿Y cómo vamos a conseguir eso? La serie Taylor.
- Es posible que desee leer esta serie de Taylor como definiciones.
Las series de Taylor se estudian porque las funciones polinómicas son fáciles y si uno pudiera encontrar una manera de representar funciones complicadas como series (polinomios infinitos), entonces uno podría estudiar fácilmente las propiedades de las funciones difíciles.
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Evaluación de integrales definidas:
Algunas funciones no tienen antiderivadas que puedan expresarse en términos de funciones familiares. Esto dificulta la evaluación de integrales definidas de estas funciones porque no se puede usar el Teorema fundamental del cálculo. Si tenemos una representación polinómica de una función, a menudo podemos usarla para evaluar una integral definida. -
Entendiendo el comportamiento asintótico: A veces, una serie de Taylor puede darnos información útil sobre cómo se comporta una función en una parte importante de su dominio.
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Comprender el crecimiento de las funciones.
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Resolviendo ecuaciones diferenciales
Estoy bastante seguro de que esto no es todo, pero con un poco de investigación puedes encontrar tantos como sea posible.
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