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Solución:
Deja $[m]$ denota el conjunto de los primeros $m$ enteros positivos.
Sea $S$ el conjunto de funciones de $[n]a [n+2]$, y para $1le i le n+1$, sea $S_i$ el conjunto de tales funciones cuyo rango no contiene $i$. Obviamente, $|S|=(n+2)^n$. Además, el rango de una función en $S$ no contendrá al menos dos elementos, ya que el rango tiene como máximo $n$ elementos. Por lo tanto, algún número $1le ile n+1$ debe faltar en el rango, entonces $$ S=bigcup_i=1^n+1 S_i $$ Por lo tanto, podemos usar el principio de inclusión-exclusión para contar $|S|$ en términos de los tamaños de las intersecciones de $k$-way $|S_i_1S_i_2dots S_i_k|$. Para cualquier $k$, la intersección de $k$ de los conjuntos $S_i$ consta de funciones cuyo rango no contiene elementos de $k$ en particular. El número de tales funciones es $(n+2-k)^n$. Por lo tanto, usando la fórmula de inclusión-exclusión, $$ |S|=(n+2)^n = sum_k=1^n+1 (-1)^k+1binomn +1k(n+2-k)^n $$ El resultado se obtiene invirtiendo el orden de la suma, es decir, configurando $kleftarrow n+1-i$.
Empezar desde
$$sum_q=0^n (-1)^nq n+1elegir q (q+1)^n \ = sum_q=0^n (-1) ^nq n+1elegir q n! [z^n] exp((q+1)z) \ = n! [z^n] exp(z) sum_q=0^n (-1)^nq n+1elegir q exp(qz) \ = – n! [z^n] exp(z) times (-1) exp((n+1)z) \ + n! [z^n] exp(z) sum_q=0^n+1 (-1)^nq n+1elegir q exp(qz) \ = n! [z^n] exp((n+2)z) \ – n! [z^n] exp(z) sum_q=0^n+1 (-1)^n+1-q n+1elegir q exp(qz) \ = (n+2 )^n \ – n! [z^n] exp(z) (exp(z)-1)^n+1.$$
Ahora $exp(z)-1 = z + cdots$ y por lo tanto $(exp(z)-1)^n+1 = z^n+1 +cdots$ y por lo tanto
$$[z^n] exp(z) (exp(z)-1)^n+1 = 0$$
y nos quedamos
$$bcaja[5px,border:2px solid #00A000] (n+2)^n.$$
Publicar una segunda respuesta porque hay una prueba completamente diferente y más directa.
Tenga en cuenta que restar $(n+2)^n$ a la derecha es equivalente a probar $$ sum_i=0^n+1 (-1)^nibinomn +1i(i+1)^nstackrel?=0 $$ que después de multiplicar ambos lados por $(-1)^n$ es igual a $$ sum_i=0^n+1 (-1)^ibinomn+1i(i+1)^n stackrel?=0tag1 $$ Para probar esto, considere el polinomio $$ sum_i =0^n+1 binomn+1i(i+1)^nx^i tag2 $$ Afirmo que $(2)$ es el resultado de tomar el polinomio $$ sum_i=0^n+1 binomn+1ix^itag3 $$ y realizando la siguiente operación $n$ veces: multiplicar el polinomio por $x$, luego derivar . De hecho, cada sumando de un polinomio se ve como $a_i x^i$, y cuando multiplicas por $x$ y derivas, el resultado es $(i+1)a_ix^i$. Hacer esto $n$ veces da como resultado $(i+1)^na_ix^i$.
Pero el polinomio en $(3)$ es por el teorema del binomio igual a $(1+x)^n+1$. Tenga en cuenta que esto tiene un cero de orden $n+1$ en $x=-1$. Multiplicar por $x$ no cambia esto. Es un resultado estándar que si $f(x)$ tiene un cero de orden $k$ en $x_0$, entonces $f'(x)$ tiene un cero de orden $k-1$ en $x_0$. Por lo tanto, dado que $(3)$ tiene un cero de orden $n+1$, se sigue que después de diferenciaciones de $n$ (y algunas multiplicaciones por $x$), seguirá teniendo un cero de orden $1$. En particular, $(2)$ tiene un cero en $x=-1$, por lo que la expresión en $(1)$ es igual a cero.
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