Solución:
Sea $ B $ la matriz adjunta de $ A $. Supongamos, en aras de la contradicción, que $ det (B) neq 0 $. Entonces $ B $ es invertible. Dado que la ecuación $ AB = ( det {A}) I = 0 $ es verdadera, tenemos $$ AB vec {v} = vec {0} forall vec {v} $$ lo que implica $ A $ es la matriz cero. Pero entonces el adjugado de la matriz $ 0 $ es claramente $ 0 $ en sí mismo, lo que contradice el hecho de que $ B $ era invertible.
Escribamos $ A ‘$ para el adjunto de $ A $. $ AA ‘= ( det A) I $, entonces $ det A det A’ = ( det A) ^ n $ (donde $ A $ es una matriz $ n times n $). Si $ det A ne0 $, esto da como resultado $ det A ‘= ( det A) ^ {n-1} $. Por continuidad, esta última ecuación es verdadera incluso cuando $ det A = 0 $, y ya está.