Saltar al contenido

Si a y b son primos relativos y ab es un cuadrado, entonces a y b son cuadrados.

Te recomendamos que pruebes esta solución en un entorno controlado antes de pasarlo a producción, saludos.

Solución:

Está claro que entiendes lo que está pasando, pero podría ayudarte a comunicarlo con mayor precisión si usas símbolos. Por ejemplo, si $a$ tiene factorización prima $$a = p_1^l_1 cdot p_2^l_2 cdot ldots cdot p_n^l_n$$ y $b$ tiene factorización prima $$b = q_1 ^k_1 cdot q_2^k_2 cdot ldots cdot q_m^k_m$$ entonces $ab$ tiene factorización prima $$ab = p_1^l_1 cdot p_2^l_2 cdot ldots cdot p_n^l_n cdot q_1^k_1 cdot q_2^k_2 cdot ldots cdot q_m^k_m.$$ No puede haber $p_i = q_j$ porque $a$ y $b$ son coprimos.

Como $ab$ es cuadrado, todos los $l_i$ y $k_i$ son pares, lo que completa la prueba.

Sí, basta con examinar la paridad de los exponentes de los números primos. Alternativamente, y de manera más general, podemos usar gcds para explícitamente mostrar $rm,a,b,$ son cuadrados. Escritura $,rm(m,n,ldots),$ por $rm, gcd(m,n,ldots),$ tenemos

Teorema$rm color#C00c^2 = ab, Rightarrow a = (a,c)^2, b = (b,c)^2: $ si $rm color#0A0(a,b,c) = 1 $ y $rm:a,b,cen mathbb N$

Prueba$rm (a,c)^2 = (a^2,color#C00c^2,ac), =, (a^2,color#C00 ab,ac),=, a,color#0A0(a,b,c) = a., $ Similarmente $rm,(b,c)^2 = b.$

El tuyo es el caso especial. $rm:(a,b) = 1 (Flecha derecha (a,b,c) = 1)$. La prueba anterior usa solo leyes universales de gcd (asociativa, conmutativa, distributiva), por lo que se generaliza a cualquier dominio/monoide de gcd (donde, en general, no es necesario que existan factores primos, pero sí existen gcd).

Recuerda que te brindamos la opción de agregar una reseña si te ayudó.

¡Haz clic para puntuar esta entrada!
(Votos: 0 Promedio: 0)



Utiliza Nuestro Buscador

Deja una respuesta

Tu dirección de correo electrónico no será publicada. Los campos obligatorios están marcados con *