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Solución:
Un conjunto de cocientes es lo que obtienes cuando “divides” un conjunto $A$ por $Bsubseteq A$, donde estableces todos los elementos de $B$ a la identidad en $A$. Por ejemplo, si $A=Bbb Z$ y $B=5nmid ninBbb Z$, entonces estás haciendo que todos los múltiplos de $5$ sean cero para todos los efectos, por lo que el cociente es $ ,1,2,3,4$.
Otra forma (y más correcta) de decir esto es que un conjunto de cocientes son todas las clases de equivalencia en el conjunto $A$ bajo una relación de equivalencia dada. En el ejemplo anterior, $aRbiff 5|(ab)$, por lo que claramente las clases de equivalencia son $nequiv 0,1,2,3,4pmod 5$. En realidad, puede seleccionar cualquier número de cada clase de equivalencia, por lo que $20,-34,77,63,-1$ sería un conjunto de cocientes “correcto”, pero no canónico.
Llego tarde a la fiesta, pero para cualquiera que se tope con esto como yo, una definición simple para un conjunto de cocientes es “el conjunto de todas las clases de equivalencia de un conjunto bajo una relación de equivalencia dada”. Una clase de equivalencia ES lo mismo que una partición, definida usando alguna relación de equivalencia. Pero el cociente es TODAS esas clases de equivalencia (particiones) bajo esa relación de equivalencia particular. SÍ necesitas una relación de equivalencia para construir un conjunto de cocientes, por lo que la notación es S/~, que se lee como “el conjunto de cocientes del conjunto S bajo la relación de equivalencia ~”.
A riesgo de simplificarlo demasiado, se podría decir que el conjunto de cocientes bajo una relación de equivalencia particular es el mismo que el conjunto original, pero en particiones en lugar de todos juntos. (Esto no es estrictamente truepero es una forma útil de entender la idea básica)
Por ejemplo, digamos que el conjunto $C$ es el conjunto de todos los autos, y $sim_c$ es una relación de equivalencia que significa “es del mismo color que”. Entonces, para un auto blanco $w$ y otro auto blanco $h$, $wsim_ch$. Con ese tipo de relación de equivalencia, $[w]$ es la clase de equivalencia que significa “todos los autos blancos”, y es una partición del conjunto de todos los autos $C$. PS[h]$ funciona igual de bien ya que tanto $w$ como $h$ están en la misma clase de equivalencia. (Puedes escribir $[w]_ sim_c$ para ser específico sobre qué relación está usando para la clase de equivalencia) El conjunto de cocientes $C/sim_c$ sería el conjunto de todas las clases de equivalencia en $C$ bajo $sim_c$. Es decir, es el conjunto de todas las particiones de $C$, particionado por color. Si eres completamente daltónico y todos los autos se ven blancos, grises o negros, entonces el conjunto de cocientes $C/sim_c$ sería $[w],[g],[b]$ (dado que $g$ y $b$ son autos grises y negros al igual que $w$ es un auto blanco). Entonces, para construir un conjunto de cocientes, enumera todas las clases de equivalencia posibles O las generaliza con notación de conjuntos: $$C/sim_c = [x]_ sim_cmid xin C$$
Dado que cada clase de equivalencia en este contexto representa todos los automóviles con un color específico y el conjunto de cocientes contiene todos los grupos de colores (por definición), entonces el conjunto de cocientes en última instancia todavía representa el mismo grupo de objetos. Si tuviera que visualizar esto, vería todos los autos del mundo reunidos en diferentes grupos por color en lugar de todos en un montón. Hablando más estrictamente, el conjunto de cocientes se parece más a una lista de los grupos que a una lista de todos los autos en los grupos (después de todo, los elementos en $C$ son autos, pero los elementos en $C/sim_C$ son conjuntos de carros). escribir $[w]$ es como decir “todos los autos tienen el mismo color que este $w$” o “el color de este auto es lo que quiero decir con ‘blanco'”. (El primero es matemáticamente más correcto, pero el segundo tiene más sentido contextual con el ejemplo)
Espero que eso ayude a visualizar a fondo el concepto. En general, un conjunto de cocientes se diferencia de una partición en que un conjunto de cocientes contiene particiones como elementos, y esas particiones están definidas por una relación de equivalencia. Los dos son definitivamente distintos.