Intenta comprender el código bien previamente a adaptarlo a tu trabajo si tdeseas aportar algo puedes decirlo en los comentarios.
Solución:
Construcción elemental
Sin profundizar demasiado en la teoría de conjuntos, es posible producir un ejemplo explícito de un conjunto totalmente ordenado que no se puede incrustar en $ (mathbbR,leq_mathbbR) $ en un orden que conserva conducta.
Defina una ordenación total $ preceq $ en $ mathbbR^2 $ como sigue: $$ forall a,b,c,d in mathbbR: quad (a,b) prec (c,d) ~ stackreltextdefiff ~ (a <_mathbbR c) ~~ texto ~~ (a = c ~~ textoy ~~ b <_mathbbR d). $$ Observe que $ r times mathbbR ~ $ es una colección incontable de intervalos $ preceq $ no degenerados disjuntos por pares de $ mathbbR^2 $. Por lo tanto, $ (mathbbR^2,preceq) $ no se puede incrustar en $ (mathbbR,leq_mathbbR) $ de una manera que preserve el orden; si este no fuera el caso, entonces $ mathbbR $ contendría una cantidad incontable de intervalos no degenerados disjuntos por pares, por lo que al elegir un número racional de cada uno de estos intervalos, terminaríamos con una cantidad incontable de números racionales ⎯ contradicción .
Construcción Teórica de Modelos
Hay una forma clara de demostrar la existencia de conjuntos totalmente ordenados con una cardinalidad arbitrariamente grande. Se basa en el teorema de compacidad en lógica y teoría de modelos. Sea $ kappa $ un cardenal y $ mathcalL $ el lenguaje de primer orden que consta de
-
un conjunto $ mathcalC $ de $ kappa $-muchos símbolos constantes y
-
un solo símbolo de relación binaria $ leq $.
A continuación, defina $ T $ como la $ mathcalL $ teoría de primer orden que consta de:
-
Para distinto $ c,d in mathcalC $, la oración $ neg(c = d) $.
-
El Axioma de Reflexividad: $ (forall x)(x leq x) $.
-
El axioma de la antisimetría: $ (forall x)(forall y)(((x leq y) land (y leq x)) Longrightarrow (x = y)) $.
-
El axioma de transitividad: $ (forall x)(forall y)(forall z)(((x leq y) land (y leq z)) Longrightarrow (x leq z)) $.
-
El axioma de ordenación total: $ (forall x)(forall y)((x leq y) lor (y leq x)) $.
Aunque $ T $ tiene infinitas oraciones (por (1)), es fácil ver que $ (mathbbN,leq_mathbbN) $ es un modelo de cualquier número finito de estas oraciones . Por lo tanto, por el Teorema de Compacidad, $ T $ tiene un modelo $ (mathcalM,leq^mathcalM) $. Claramente, si elegimos $ kappa > frakc $, entonces no podemos incrustar $ (mathcalM,leq^mathcalM) $ en $ (mathbbR ,leq_mathbbR) $ de manera que se mantenga el orden.
Construcción de teoría de conjuntos
El enfoque teórico de modelos anterior adolece de un leve inconveniente, en el sentido de que el teorema de compacidad es equivalente al teorema del ideal primo booleano, que es una forma débil del axioma de elección. Si uno desea trabajar estrictamente dentro del marco de los axiomas de Zermelo-Fraenkel, entonces puede usar el resultado de Hartogs de que para cualquier conjunto $ X $, es posible encontrar un ordinal $ alpha $ que no se puede mapear inyectivamente en $ X ps En particular, existe un ordinal $ alpha $ que no se puede mapear inyectivamente en $ mathbbR $, y mucho menos incrustarse en $ mathbbR $ de una manera que preserve el orden.
No absolutamente no. Asumiendo el axioma de elección, sea $kappa$ cualquier cardinal mayor que $2^omega=|Bbb R|$; entonces $kappa$ en su orden natural es un orden lineal de mayor cardinalidad que $Bbb R$. Si el axioma de elección falla de tal manera que $Bbb R$ no puede estar bien ordenado, todavía hay un conjunto bien ordenado que no puede estar incrustado en $Bbb R$, el ordinal de Hartogs de $Bbb R$ .
La línea real es la más grande. orden separable conjunto linealmente ordenado. es decir, si $(L,preceq)$ es un conjunto linealmente ordenado tal que un conjunto contable $Csubconjunto L$ existe satisfaciendo que para todos $x,yen L$ con $xprec y$ hay $cen C$ con $xpreceq cpreceq y$entonces existe una función $f:LtomathbbR$ tal que $f(x) si y si $ x para todos $x$ y $y$ en $L$. La existencia de tal conjunto $C$ también es necesario. Una prueba de estos hechos se da aquí.
Aquí hay otro contraejemplo sin orden de separabilidad: Sea $(W,preceq)$ Sea un conjunto incontable y bien ordenado. Dejar $W’$ ser $W$ sin el máximo de $W$ si tal máximo existe. Para cada $wen W’$dejar $S(w)$ ser su sucesor inmediato dado por $S(w)=minw’in W:w’succ w$. Se ve fácilmente que $xprec y$ implica $xprec S(x)preceq yprec S(y)$. Entonces, si una función estrictamente creciente $f:WtomathbbR$ existiría, la incontable familia de intervalos $(f(w),f(S(w))):win W’$ sería disjunto, lo que no puede ser por la misma razón señalada por Haskel Curry en su respuesta.
Te mostramos reseñas y calificaciones
Si conservas algún escollo o forma de acrecentar nuestro post eres capaz de escribir una acotación y con gusto lo leeremos.