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Solución:
Las matemáticas son el arte del olvido inteligente. El primer avance matemático, los números, se produjo cuando la gente se dio cuenta de que si se olvidaba de si eran 5 vacas + 3 vacas, o 5 rocas + 3 rocas o lo que fuera, siempre obtenía 8. Los números son lo que obtienes cuando miras las colecciones. de objetos y olvidar qué tipo de objeto son.
Cuando dice “como conjuntos”, quiere decir que está olvidando mucha información, en particular, no le importa cuáles son los nombres de los elementos en ese conjunto o qué propiedades tienen esos elementos. Como conjuntos, los números positivos y los números pares positivos son “lo mismo” (es decir, están en biyección) porque puedes tomar 1,2,3,… y simplemente rebautizar 1 a 2, y 2 a 4, yn a 2n, ¡y acaba de cambiar el nombre de todos los elementos y obtuvo los números pares!
Sin embargo, si desea recordar más acerca de estos conjuntos, por ejemplo, que no son conjuntos arbitrarios, ambos son subconjuntos de los números naturales, entonces se vuelven distinguibles. Dependiendo de cómo desee medir el “tamaño de un subconjunto de los números naturales”, pueden ser de diferentes tamaños. Por ejemplo, una forma común de medir el “tamaño de un subconjunto de números naturales” es por su “densidad”. Es decir, observa los primeros N números y calcula qué fracción de ellos hay en su conjunto, y luego toma el límite cuando N tiende a infinito (advertencia para conjuntos lo suficientemente complicados, este límite podría no existir). Entonces, para sus dos ejemplos, uno tiene densidad 1 y el otro tiene densidad 1/2, que es una forma de precisar la intuición de que el primero es más grande. como un subconjunto de los números naturales (aunque no como un conjunto) que este último.
La palabra ‘tamaño’ no tiene un significado intuitivo para un conjunto de elementos infinitos.
Los matemáticos definieron la cardinalidad por correspondencia uno a uno (biyección), y generalmente es lo que significa “tamaño”.
Sí hay existir una biyección entre A y B, entonces los dos conjuntos tienen la misma cardinalidad. Has demostrado la existencia de una biyección, por lo que E y N tienen la misma cardinalidad.
Podrías querer decir que la ‘densidad’ de N es dos veces mayor que E. La densidad de A (un subconjunto de números naturales) es el límite de |a<=n|/n cuando n tiende a infinito.
Ambos son del mismo tamaño, siendo el tamaño ‘infinito contable’ o ‘alef-null’. El razonamiento detrás de esto es exactamente el que ya ha identificado: puede asignar cada elemento en E a un solo valor en N. Esto es true para los números Naturales, los Enteros, los Racionales pero no los Reales (vea el argumento de Barra Diagonal para detalles sobre este resultado).
— Explicación agregada del comentario —
El primer razonamiento no es válido porque la cardinalidad de conjuntos infinitos no sigue las reglas de multiplicación “normales”. Si multiplicas un conjunto con cardinalidad de aleph-0 por 2, todavía tienes aleph-0. lo mismo es true si lo divide, le suma, le resta por cualquier cantidad finita.
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