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Solución:
Debe especificar en qué espacio métrico está trabajando. Si dice que $mathbbQ$ es un subconjunto del espacio métrico $(mathbbR,d)$ donde $d$ es la métrica habitual dada por el valor absoluto habitual, obtenemos que $operatornameintmathbbQ = emptyset$ ya que si tomamos cualquier $x in mathbbQ$ y $r in mathbbR $, $r>0$, entonces cualquier bola abierta (es decir, un intervalo abierto) centrada en $x$ contendrá irracionales y, por lo tanto, no estará completamente en $mathbbQ$.
También tenemos $parcial mathbbQ = mathbbR$ ya que el límite se define como el cierre menos el interior, y el cierre si simplemente $mathbbR$ ya que si $x in mathbbR$ entonces $x$ “se adhiere” a $mathbbQ$, es decir, habrá alguna secuencia de números racionales que tiende a $x$ (por ejemplo, una expansión decimal).
Depende de la topología que adoptemos. En la topología estándar o $mathbbR$ es $operatornameintmathbbQ=varnothing$ porque no hay un conjunto abierto básico (intervalo abierto de la forma $(a,b)$) dentro de $mathbbQ$ y $mathrmclmathbbQ=mathbbR$ porque todo número real se puede escribir como el límite de una secuencia de números racionales. También se sigue que
$$parcialmathbbQ=mathrmclmathbbQsetminus mathrmintmathbbQ=mathbbR.$$
Comenta tu edición: La definición del interior de un conjunto $C$ es el conjunto abierto más grande (wrt $subseteq$) dentro de $C$, es decir, es la unión de todos los conjuntos abiertos en $C$. Si (y solo si) no puede encontrar un conjunto abierto básico dentro de $C$, entonces el interior de $C$ está vacío.
Si te gusta el asunto, tienes la habilidad dejar una división acerca de qué le añadirías a este enunciado.