Posterior a observar en varios repositorios y sitios webs finalmente encontramos la respuesta que te enseñaremos más adelante.
Solución:
Un número real es irracional si y solo si no es racional. Por definición, cualquier número real es racional o irracional.
Supongo que el creador de esta imagen eligió esta representación para mostrar que los números racionales e irracionales son parte del conjunto más grande de números reales. El área azul oscuro es en realidad el conjunto vacío.
Esta es mi opinión sobre una mejor representación:
Siéntase libre de editar y mejorar esta representación a su gusto. He subido el código fuente SVG a pastebin.
No. La definición de un número irracional es un número que no es un número racional, es decir, no es la relación entre dos números enteros.
Si un número real no es racional, entonces por definición es irracional.
Sin embargo, si piensas en algebraico números, que son números racionales y números irracionales que se pueden expresar como raíces de polinomios con coeficientes enteros (como $sqrt2$ o $sqrt[4]12-frac1sqrt3$), entonces hay números irracionales que no son algebraicos. Estos se llaman números trascendentales.
Por supuesto, la respuesta “tradicional” es no, no hay números reales que no sean racionales ni irracionales. Sin embargo, siendo el contrario que soy, permítanme proporcionar una interpretación alternativa que da una respuesta diferente.
¿Qué pasa si estás usando la lógica intuicionista? – PyRulez
En la lógica intuicionista, donde se rechaza la ley del medio excluido (LEM) $Pveelnot P$, las cosas se vuelven un poco más complicadas. Sea $xin Bbb Q$ que hay dos enteros $p,q$ con $x=p/q$. Entonces, la interpretación tradicional de “$x$ es irracional” es $lnot(xinBbb Q)$, pero en su lugar lo llamaremos “$x$ no es racional”. La afirmación “$x$ no es racional”, que es $lnotlnot(xinBbb Q)$, está implícita en $xinBbb Q$ pero no es equivalente a ella.
Considere la ecuación $0<|xp/q|
Por lo tanto, existe una brecha medible entre las medidas de irracionalidad de los números racionales e irracionales, y esto produce una definición “constructiva” alternativa de irracional: sea $xinBbb I$, léase “$x$ es irracional”, si $| xp/q|
Este enfoque también es similar al método de la fracción continua: los números irracionales tienen infinitas representaciones de fracciones continuas simples, mientras que los números racionales tienen representaciones finitas, por lo que dada una representación de fracciones continuas infinitas, automáticamente sabes que el límite no puede ser racional.
La mala noticia es que debido a que la lógica intuicionista o constructiva es estrictamente más débil que la lógica clásica, no prueba nada que la lógica clásica no pueda probar. Dado que la lógica clásica prueba que todo número es racional o irracional, no prueba que haya un número no racional no irracional (suponiendo consistencia), por lo que la lógica intuicionista tampoco puede probar la existencia de un número no irracional no racional. Simplemente no puede probar que esto es imposible (no puede que ser true, por algún sentido de “podría”). Por otro lado, debería haber un modelo de los reales con lógica constructiva + $lnot$LEM, de modo que haya un número no racional no irracional, e invito a cualquier analista constructivo a proporcionar ejemplos en los comentarios.
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