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Solución:
Tratemos primero con los ejemplos.
El $ liminf $ de la secuencia real $ a_n $ con $ a_n = (-1) ^ n $ es $ -1 $; el $ limsup $ de la misma secuencia es $ 1 $. Para la secuencia $ b_n $, con $ b_n = frac 1 n $, dado que la secuencia converge a $ 0 $, cada subsecuencia converge a $ 0 $ así que tanto $ liminf $ como $ limsup $ son iguales a $ 0 $. Puede pensar en $ liminf $ como el mínimo de todos los límites de todas las subsecuencias convergentes de la secuencia, y $ limsup $ es el supremo de todos los límites de todas las subsecuencias convergentes de las secuencias.
Usando las definiciones dadas por Jens, para $ A_n = (- 1) ^ n $ el $ limsup $ es $ – 1, 1 $, porque ambos elementos aparecen en un número infinito de $ A_n $, y $ liminf $ está vacío, porque ningún elemento aparece en todos, excepto en un número finito de $ A_n $. Para $ B_n $, ambos están vacíos porque ningún elemento ocurre en un número infinito de los conjuntos, ni en todos excepto en un número finito (cada elemento ocurre en un solo $ B_n $). Nuevamente, $ liminf $ es la colección de todos los puntos que están en todos los conjuntos, excepto en un número finito, mientras que $ limsup $ es la colección de todos los puntos que están en un número infinito de conjuntos.
Pero estás mirando el incorrecto conjuntos si desea que sus conjuntos estén relacionados con sus secuencias. Como señala Nate Eldredge, lo que debería mirar es el conjunto $ A_n = (- infty, a_n) $, o $ A_n = (- infty, (- 1) ^ n) $. Utilizando ese definición, tienes que $ limsup A_n = (- infty, 1) $ (como se esperaba, ya que $ limsup a_n = 1 $; cada uno de estos números ocurre en un número infinito de $ A_n $), y $ liminf A_n = (- infty, -1) $ porque esos son los únicos que ocurren en todos menos en un número finito de los conjuntos (de hecho, en todos; cualquier otro número que ocurra en cualquier $ A_n $ ocurre solo en el $ A_n $ incluso con $ n $, por lo que falta en un número infinito de $ A_n $); mientras que si deja $ B_n = (- infty, frac 1 n) $, entonces $ liminf B_n = limsup B_n = (- infty, 0]$ (nuevamente, como se esperaba, ya que el límite inferior y superior límite de $ b_n $ son ambos iguales a $ 0 $).
Ahora, la razón por la que parece que se está quedando colgado es que parece haber poca relación entre los límites inferiores y superiores de un $ a_n $, y los límites inferiores y superiores de la secuencia de conjuntos $ a_n $. Pero el punto que señaló Nate Eldredge es que estos no son los conjuntos que desea asociar con la secuencia $ a_n $.
Puede recordar que una secuencia $ a_n $ converge a $ L $ si y solo si cada subsecuencia $ a_ n_k $ converge a $ L $. Además, cada secuencia contiene una secuencia monótona, por lo que si permitimos $ infty $ y $ – infty $ como “límites”, se deduce que cada secuencia necesariamente tendrá una subsecuencia convergente. Entonces uno puede preguntarse: “¿Cuáles son todos los puntos $ M $ para los que hay una subsecuencia de $ a_n $ que converge en $ M $?” Se pueden ver los límites inferiores y superiores en términos de este conjunto: el límite inferior de la secuencia es el número más pequeño $ ell $ (incluyendo posiblemente $ infty $ o $ – infty $) para el que hay una subsecuencia de $ a_n $ convergiendo a $ ell $. El límite superior es el número más grande $ L $ para el que hay una subsecuencia de $ a_n $ que converge a $ L $. Da la casualidad de que el límite existe si y solo si $ ell = L $. Los límites inferior y superior también pueden ser definidos por $$ liminf a_n = lim_ n to infty ( inf a_m ) = sup_n left ( inf a_m right) $$ y $$ limsup a_n = lim_ n to infty ( sup a_m ) = inf_n left ( sup m geq n derecha). $$
Visto así, quizás puedas ver un poco más de una conexión con los límites inferiores y superiores de una secuencia de conjuntos. Si $ A_n $ es una secuencia de conjuntos, entonces los límites inferior y superior se definen como: $$ liminf A_n = cup_ n = 1 ^ infty left ( cap_ m = n ^ infty A_m right) $$ y $$ limsup A_n = cap_ n = 1 ^ infty left ( cup_ m = n ^ infty A_m $$ Piense en una intersección como tomar algo “más pequeño” en común (como un mínimo), y piense en la unión como si tomara algo “más grande” en común (como un supremo). El límite inferior es el supremum del infima, mientras que el límite superior es el infimum del suprema. Ahora es un buen ejercicio verificar que $ liminf A_n $ es la colección de todas las cosas que están en todas las $ A_i $, excepto en un número finito, mientras que $ limsup A_n $ es la colección de todas las cosas que están en infinitas del $ A_i $ (como lo describe Jens).
Entonces, ¿cómo se conecta una secuencia $ a_n $ a conjuntos para que los límites inferior y superior se correspondan de alguna manera? No puedes simplemente tomar $ A_n = a_n $, porque entonces cada $ A_n $ no sabe nada sobre lo que vino antes o después; pierde toda la información que podría decirle algo sobre las subsecuencias. Podría intentar dejar $ A_n = a_m $, y eso incluso funcionará en algunos casos, pero el problema aquí es que la información que está perdiendo es que en los números reales, una secuencia puede converger a un número incluso si sin plazo en la secuencia es igual al límite; entonces el límite nunca va a aparecer en ninguno de los conjuntos, y no va a aparecer en los límites inferiores o superiores de los conjuntos.
¿Cual es la solución? El límite inferior de una secuencia será un límite inferior para todos los términos de la secuencia, excepto para un número finito (si hubiera infinitos términos de la secuencia estrictamente menores que $ liminf a_n $, entonces podría obtener una subsecuencia de entre ellos que converge a algo estrictamente menor que $ liminf a_n $, una contradicción). Esto sugiere que lo que quiere hacer es dejar que $ A_n $ sea la colección de todos los límites inferiores a $ a_n $; entonces el límite inferior de $ A_n $ será la colección de todas las cosas que son límites inferiores a todos menos a un número finito de términos de la secuencia, exactamente el conjunto que desea considerar para encontrar $ liminf a_n $.
¿Cuál es el límite superior de $ a_n $? Puede definirlo dualmente, como el más pequeño de todos los números que superan los límites de todos los términos de la secuencia, excepto para un número finito (esto conducirá a la fórmula que dice que $ limsup a_n = – liminf (-a_n) $). O puede intentar definirlo en términos de los límites inferiores nuevamente: cualquier número $ k $ estrictamente menor que el límite superior debe tener un número infinito de términos de la secuencia mayor que $ k $ (de lo contrario, ninguna subsecuencia podría converger en algo mayor, por lo que ninguna subsecuencia podría converger al límite superior). Es decir: mire la colección de todas las cosas que son límites inferiores para infinitamente muchos del $ a_n $, y el superior de ese será el límite superior. Así que volvemos a mirar $ A_n = (- infty, a_n) $ (el conjunto de todos los límites inferiores a $ a_n $), y consideramos el límite superior de $ A_n $; esta es la colección de todos los números que son límites inferiores a un número infinito de $ a_n $, por lo que su superior será $ limsup a_n $. Por eso es que consideras el conjunto $ A_n (- infty, a_n) $ en lugar del conjunto $ a_n $, y de dónde vienen.
Hay otras formas de asociar a cada $ a_n $ un conjunto apropiado; En esta situación, tenga en cuenta que $ sup A_n = a_n $ para cada $ n $, que $ sup ( liminf A_n) = liminf ( sup A_n) = liminf a_n $, y $ sup ( limsup A_n ) = limsup ( sup A_n) = limsup a_n $, lo que hace que esta asociación sea bastante agradable.
Espero que esto ayude a aclararlo más.
Aquí hay dos hechos que pueden ayudar con la analogía.
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Sea $ x_n $ una secuencia real; sea $ A_n = (- infty, x_n) $. Entonces $ limsup A_n = (- infty, limsup x_n) $ o $ (- infty, limsup x_n]$. De manera similar, $ liminf A_n = (- infty, liminf x_n) $ o $ (- infty, liminf x_n]$.
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Sea $ A_n $ subconjuntos de algún conjunto $ Omega $, y sea $ 1_ A_n: Omega to mathbb R $ la función que es 1 en $ A_n $ y 0 en $ A_n ^ c $ . Entonces $ limsup 1_ A_n ( omega) = 1 _ limsup A_n ( omega) $ para todos $ omega in Omega $, y de manera similar $ liminf 1_ A_n ( omega) = 1_ liminf A_n ( omega) $.
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