Lilian, parte de este gran equipo de trabajo, nos hizo el favor de escribir esta reseña porque conoce muy bien el tema.
Solución:
Un conjunto acotado es aquel que puede estar contenido en un intervalo PS[a,b]PS
Puede ser finito o infinito, continuo o discreto.
Por ejemplo el conjunto $1,1/2,1/3,…$ es un conjunto acotado no vacío porque está contenido en PS[0,1]PS
El intervalo $(0,1)$ está acotado porque está contenido en PS[0,1]PS
El conjunto $1,2,3,4,5$ está acotado porque está contenido en PS[1,5]PS
Recuerda que podemos decir $S subseteq Bbb R$ está “acotado” si existe $m,M en Bbb R$ tal que, por todo $s in S$, $m le s le M$. también decimos $S$ es “no vacío” si… bueno, contiene elementos, eso es bastante simple.
Editar: una idea más intuitiva de este principio es, como lo da Mohammad Riazi-Kermani en su respuesta, es que $S$ es un subconjunto no vacío de algún intervalo finito. En mi definición anterior, ese intervalo es PS[m,M]PS.
Ninguno de estos principios requiere finitud o conexión. Por ejemplo, $S = 1$ está delimitado, con $m=M=1$, y obviamente no está vacío. El conjunto de Cantor es acotado y no vacío con $m=0,M=1$, pero está totalmente desconectado. Su conjunto de ejemplo de $S= ,1,2,3$ es acotado y no vacío con $m=0,M=3$.
Pero también podemos tener ejemplos continuos/conectados. Por ejemplo, $S=(-2,2)$ es acotado y no vacío con $m=-2,M=2$. O tal vez tomamos $S = (1,3) taza (4,6)$, que no es vacío y está acotado por $m=1,M=6$.
Si quisiera un subconjunto “continuo”, diría “intervalo”.
“$S = , 1, 2, 3$“
Mmm…
- ¿Encerrado? Vamos a ver si está delimitado por $100$. $|0| leq 100$. $|1| leq 100$. $|2| leq 100$. $|3| leq 100$. Sí, está delimitado.
- ¿No vacío? $1 en S$, entonces $S$ no está vacío.
- ¿Subconjunto? $0 en BbbR$, $1 en BbbR$, $2 en BbbR$, y $3 en BbbR$, entonces $S subconjunto BbbR$.
El no vacío requería una “elección”, pero esa elección es trivial. El único que implicaba una “elección” no trivial era la delimitación. Por supuesto, si está eligiendo un conjunto, probablemente sepa o pueda encontrar un límite (estrecho). Si el conjunto se define de una manera suficientemente complicada, encontrar un límite puede requerir algo de trabajo/creatividad y tal conjunto puede no tener límites. (Considere el conjunto de números armónicos. Mirando los miembros pequeños, podrían parecer estar acotado. no lo son.)
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