El tutorial o código que encontrarás en este artículo es la resolución más eficiente y válida que hallamos a esta duda o problema.
Solución:
Si el mínimo de una función está en el Perímetro de la región de parámetros, entonces la diferenciación simple no funcionará. También debe verificar los límites, que en este caso incluye el (true) solución $(0,100)$.
Una ilustración trivial: encuentra el valor mínimo de $f(x) = x$ para $x ge 0$. La diferenciación no ayuda a encontrar la solución en $x = 0$.
Sin pérdida de generalidad suponga que $b > a$ entonces $a + 100 = b$.
El producto es $ab = a(a+100) = a^2 + 100a$.
Para encontrar un extremo debemos resolver $f(x) = x^2 + 100x$ $f'(x) = 0$.
Eso es $2x + 100 = 0$ entonces $x = -50$ es el único extremo.
Para ver qué tipo de extremo es, debemos evaluar que $f”(x)$ está en $x = -50$. $f”(x) = 2$ entonces $f”(50) = 2 > 0$. $x = 50$ es un mínimo.
Entonces $b = 50$ y $a = -50$ es el producto mínimo. Pero esos no son positivos.
Necesitamos encontrar el producto mínimo positivo. Si $0 < x$ then $f'(x) > 2*0 + 100$ por lo que el producto va en aumento.
Entonces el producto mínimo ocurre en $a = min (0, infty)$ y $b = min (100, infty)$.
Pero…. no existen tales números reales.
Lo cual… no es un problema. Caíste en el truco más antiguo del libro, uno en el que todos los matemáticos que he conocido alguna vez han caído una o dos veces, que solo porque un problema podría pedir para algo, eso no significa que la cosa exista.
Ahora, si hubieran sido dos números reales no negativos, la pregunta habría sido válida, pero no lo fue y no lo es.
El mínimo no existe. Existe una secuencia minimizante: $$ (a_n,b_n)=(1/n,100+1/n) $$