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Solución:
los key aquí es que hay números infinitos. Usando el principio de casillero, puede ver que dos números cuando se dividen por 2017 dan el mismo residuo y concluyen.
Si bien la forma correcta de resolver este problema es utilizar el principio de casillero, uno puede tener curiosidad por encontrar un número específico que funcione:
Eso es escribir un algoritmo que lo encuentre, dado que los números involucrados pueden ser grandes.
Resulta que esto no es demasiado difícil, aquí está el resultado:
Si $ a = \ \ 550873133917258855285627719936098716465597972786867184487412548889990635156723 406599460144328761086321820084834462623257863713986668870159202335702087809177 \ \ 546411061532529058557814135404616316862226629207293560293064507243981711011953 947006004517159698121522613342147303476009475017903376852310912796782900897923 \ \ 208285131934115573183495840907838924695642593510714482454690684735305459152757 120035255880570704566738280174075910317853798270258359499807194403128959400650 \ \ 030298022365449237040709524596485429405607888503277695146807690188949484933619 787362970307938081859747700104665895444279182504269266787858756128463614829504 \ \ 765052608384289098220679777447253897427422464606401145816118547898418994105657 467085330248443783396683743733818101691180521125984685726877100203823059549385 \ \ 776455682256376356525092271249931140858260342643089296535007987660441800253401 641601939073431388751170605409574175067481958904864209772489395692172092767035 \ 751666391230099708 037239023852806698617308433867680273233074422960392221671349 \ \ 088304963366936594502286123505756624249435355037734809673332231587065498815622 762077893461135900402137387759598964358508235553352063019886520134413044675811 \ \ 160689693163664408086817605905359995593014928661929157714978240511210268275216 217705062524100699608880074918746212747204318845369911309425439321324299013937 \ \ 090288106649038726381314383297526579628711507739767531537486916763069465102186 966341651517655483942048146311904368423951963862722415027819093262821572191924 \ \ 199856772985181512697625736792816614333718944527075414532033272737288602434859 251914284140362474522117556326777943039717952955434363466093758607392717457169 \ \ 613837933124001542444774968324794799757615821076406103674323803228116564755136 891973778438825538478488404120531041701096237536495345122018399162672836445766 \ \ 539965845865697129950972291081363961879579132925687214234561780421968820580620 2831487908334710516168126480471547402633173580 12449732826530050129455186470555 \ 83099212251418498319836941552360491378835454194898914779926183 $
luego $ b = a cdot2017 = 111 cdots11 $, total de $ 2016 $ dígitos $ 1 $ (y ningún otro dígito).
Por lo tanto $ (10 cdot a) cdot2017 = 10 cdot b = 111 cdots110 $, total de $ 2016 $ dígitos $ 1 $ seguidos de $ 0 $,
es decir $ (10 cdot a) cdot2017 = 111 cdots111-1 $ donde $ 111 cdots111 $ tiene $ 2017 $ dígitos $ 1 $ ‘s.
A continuación se presenta la descripción informal del algoritmo.
Comenzando con $ 2017 $ necesitamos multiplicar por $ 3 $ para hacer el último dígito $ 1 $:
$ 2017 cdot3 = 6051 $.
Entonces queremos mantener el último $ 1 $ y convertir el penúltimo $ 5 $ en $ 1 $.
Sabemos que $ 5 + 6 = 11 $ y $ 7 cdot8 = 56 $, por lo tanto, multiplicamos $ 2017 cdot80 = 161360 $ y sumamos esto a $ 6051 $ para obtener $ 167411 $.
Ahora tenemos que arreglar el penúltimo dígito que es $ 4 $. Como $ 4 + 7 = 11 $, esta vez necesitamos multiplicar $ 2017 cdot1 cdot10 ^ 2 = 201700 $ y agregar esto a $ 167411 $, para obtener $ 2017 cdot183 = 369111 $, que son tres dígitos correctos $ 1 $ en el fin. Sabemos que si hacemos esto durante el tiempo suficiente, entonces (por el principio de casillero) necesitamos obtener un número que consta de dígitos de $ 1 $ solamente (llamado repunit), y esto toma uno o dos segundos en una computadora. Usé la función $ f (c) $ donde $ c $ es el “dígito a corregir”, es decir, multiplicamos $ 2017 $ por $ f (c) cdot10 ^ k $ (donde $ k $ aumenta gradualmente), donde $ f (0) = 3 $, $ f (1) = 0 $, $ f (2) = 7 $, $ f (3) = 4 $, $ f (4) = 1 $, $ f (5 ) = 8 $, $ f (6) = 5 $, $ f (7) = 2 $, $ f (8) = 9 $, $ f (9) = 6 $. Este $ f $ tiene la propiedad de que $ c + f (c) cdot7 $ termina en $ 1 $ para $ c = 0,1, cdots, 9 $.
Editar. Después de hacer lo anterior por el camino largo, me doy cuenta de que el comentario de @Phicar (después del OP) muestra una forma más corta de hacer esto, usando el pequeño teorema de Fermat. En particular, el número $ a = 5508 cdots183 $ que se me ocurrió anteriormente es exactamente $ a = displaystyle ( frac 10 ^ 2017-1 -1 10-1) / 2017 = ( frac 10 ^ 2016 -1 9) / 2017 $. Se puede encontrar mucho más en línea, factorización de repunit de Google, resultados en Wikipedia, MathWorld, algunos artículos en pdf de Snyder 1982, Jaroma 2007 y una discusión en https://mathlesstraveled.com/2011/11/17/fun- with-repunit-divisors-more-solutions / (por el Dr. Brent Yorgey).
Tengo que pensar cómo se relaciona el algoritmo descrito anteriormente con el pequeño teorema de Fermat. Creo que el algoritmo funcionaría para cualquier número $ k $ (no necesariamente un primo) que no sea un múltiplo de $ 2 $ o $ 5 $, para producir un repunit divisible por $ k $, me pregunto cuántos “pasos” podría tomar , en términos de los factores de $ k $.
Editar. Hay al menos otras seis preguntas sobre MSE (algunas bastante antiguas) que discuten este tema. En términos generales, las respuestas son de dos tipos: o simplemente usando el principio de casillero o, alternativamente, tratando de ser más específico y llegar a un repunit particular que sea un múltiplo del número en cuestión. Este último puede involucrar el pequeño teorema de Fermat o algún enfoque algorítmico. Aquí hay enlaces a algunas de estas preguntas, como referencia (primero las preguntas más antiguas y sin enfatizar ninguna respuesta en particular). (Seguramente debo haber pasado por alto algunos, no dude en agregar más enlaces en un comentario).
Priyank Bhatnagar (https://math.stackexchange.com/users/19802/priyank-bhatnagar), un número natural multiplicado por un número entero da como resultado un número con solo unos y ceros, URL (versión: 2015-04-25): Un número natural multiplicado por un número entero da como resultado un número con solo unos y ceros.
Ocho (https://math.stackexchange.com/users/20036/eight), demuestre que cada número que termina en $ 3 $ tiene un múltiplo que consta solo de unos., URL (versión: 2012-07-01): Demuestre que cada número que termina en $ 3 $ tiene un múltiplo que consta solo de unos.
HowardRoark (https://math.stackexchange.com/users/32668/howardroark), Todos los números primos impares excepto $ 5 $ dividen un número compuesto por todos los $ 1 $ s, URL (versión: 2012-07-01): Todos los números primos impares excepto $ 5 $ dividir un número formado por todos los $ 1 $ s
user1526710 (https://math.stackexchange.com/users/43178/user1526710), principio de divisibilidad y casillero, URL (versión: 2012-09-30): principio de divisibilidad y casillero
limp_chimp (https://math.stackexchange.com/users/44186/limp-chimp), Demuestre que cada entero $ n> 0 $ con $ gcd (n, 10) = 1 $ tiene un múltiplo que se puede escribir con solo el dígito $ 9 $., URL (versión: 2012-11-04): Demuestre que cada entero $ n> 0 $ con $ gcd (n, 10) = 1 $ tiene un múltiplo que se puede escribir solo con el dígito $ 9 $.
user2993422 (https://math.stackexchange.com/users/212041/user2993422), demuestre que hay infinitos números de la forma $ x = 111 …. 1 $ tal que $ 31 | x $, URL (versión: 2015-06-13): demuestre que hay infinitos números de la forma $ x = 111 …. 1 $ tales que $ 31 | x $
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