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Solución:
La pregunta en sí ya ha sido respondida. Permítanme agregar que en el caso de que $d = 3$, se puede obtener una buena imagen al marcar todos los puntos racionales con una altura menor que un límite superior y proyectar esto a uno de los planos de coordenadas. La siguiente imagen muestra tal proyección de un octante de la esfera (límite de altura: 2048):
Esta imagen con una resolución de 2048 x 2048 píxeles se puede encontrar en https://foroayuda2.foroayuda.es/wp-content/uploads/2023/03/0-una-foto.png.
Versiones más grandes de esta imagen también están disponibles:
- 5000 x 5000 píxeles, límite de altura = 5000
- 10000 x 10000 píxeles, límite de altura = 10000
Proyectar los puntos racionales en la esfera de una manera similar a la esfera de Riemann en el plano produce una imagen como esta:
El punto donde la esfera toca el plano está en el medio de la imagen. Una característica de la imagen es una cuadrícula de círculos blancos con un tamaño de malla 2, es decir, el diámetro de la esfera. La mayor densidad de puntos alrededor del centro de la imagen surge de la proyección.
Versiones más grandes de esta imagen también están disponibles:
- 5000 x 5000 píxeles, límite de altura = 5000, ambas coordenadas de -6 a 6
- 10000 x 10000 píxeles, límite de altura = 10000, ambas coordenadas de -8 a 8
Coincidentemente, me enteré del siguiente artículo (de 2008) de Erich Schmutz en una charla de Amos Nevo esta mañana que, creo, responde a sus dos preguntas: Rational Points on the Unit Sphere.
En particular, demuestra el siguiente límite en la altura de un punto racional $r = (r_1, ldots, r_d)$ en la esfera unitaria que es $epsilon$-cerca de $x = (x_1, ldots, x_d )$ para la norma superior: $$H(r) le left( frac sqrt32 m epsilon right)^2 m,$$ donde $m = lceil log_2 d rceil$.
Con respecto a Q1, puede obtener una noción más precisa de la densidad contando el número $N(B)$, digamos, de puntos racionales con una altura como máximo $B$, y considere cómo se comporta esta cantidad como $Brightarrow infty$ . Pensaría en este problema proyectivamente. En este caso los puntos racionales serían $[x_1,dots,x_n,y]$, con $x_1,dots,x_n,y$ enteros tales que $gcd(x_1,dots,x_n,y)=1$, para lo cual $$ x_1^2+cdots +x_d^2=y^ 2.$$ Se podría definir la altura de un punto como $max(|x_i|,|y|)$. Usando el método del círculo de Hardy-Littlewood, por ejemplo, uno puede probar (para $dgeq 3$) que $$ N(B)sim B^d-1sigma_inftyprod_psigma_p, $$ como $Brightarrow infty$, donde $sigma_v$ es la densidad de puntos en la cuádrica en la terminación $mathbbQ_v$.
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