Solución:
Si $ T $ es el subgrupo de torsión de un grupo abeliano $ G $, entonces $ G / T $ está libre de torsión.
De hecho, si $ xT $ es torsión en $ G / T $, entonces $ eT = (xT) ^ m = x ^ mT $ para algunos $ m> 0 $. Esto significa $ x ^ m en T $, entonces $ (x ^ m) ^ n = e $ para algunos $ n> 0 $. Por lo tanto $ x ^ {mn} = e $ y $ x en T $, entonces $ xT = eT $ y no hay un elemento de torsión no trivial en $ T $.
Si $ G $ ya es torsión, entonces $ T = G $ y $ G / T $ es el grupo trivial, que está libre de torsión porque no tiene ningún elemento de torsión no trivial (no tiene ningún elemento diferente de la identidad).
El grupo trivial $ {e } $ es de hecho libre de torsión y torsión. No hay contradicción.
La prueba de la segunda afirmación es incorrecta. demostró que cada elemento de orden finito en $ G / T $ proviene de un elemento de orden finito.
Creo que este es un contraejemplo. $ G = mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} times mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} $ y deja $ T = mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} times {0 } $. Claramente $ T $ es un subgrupo de torsión normal de $ G $. Pero $ G / T cong mathbb {Z} / 2 mathbb {Z} $ que no está libre de torsión.
Tenga en cuenta que existe una diferencia entre un grupo de torsión y el subgrupo de torsión.
Definición (grupo de torsión): Let $ G $ ser un grupo, decimos que $ G $ es torsión si cada elemento en $ G $ es de orden finito.
Definición (el subgrupo de torsión): Sea $ G $ ser un grupo, el subgrupo de torsión $ T $ de $ G $ es el subgrupo de $ G $ que contiene todos los elementos de orden finito. (es decir $ T $ es el subgrupo de torsión máxima de $ G $).
Y estoy bastante seguro de que lo que realmente se prueba en el libro es lo siguiente
Teorema: Sea $ G $ ser un grupo y dejar $ T $ sea su subgrupo de torsión. Luego $ G / T $ no tiene torsión.