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Solución:
El teorema de Noether relaciona las leyes de conservación con las simetrías del espacio. Más específicamente:
- la conservación del momento lineal se deriva de la homogeneidad del espacio, es decir, la invariancia de las leyes físicas con respecto a la traslación.
- la conservación de la energía se deriva de la homogeneidad del tiempo
- la conservación del momento angular se deriva de la isotropía del espacio, es decir, la invariancia con respecto a las rotaciones / direcciones.
La advertencia es que estos argumentos se hacen dentro del contexto de la mecánica clásica, donde estas simetrías son fundamentales, mientras que las ecuaciones de movimiento siguen. La mecánica newtoniana estudiada en la escuela y en los primeros cursos universitarios adopta un enfoque diferente: postula las tres leyes de Newton, que permiten derivar el resto. En otras palabras, las leyes adicionales formuladas en la pregunta no son necesarias. Además, parecen estar basados en una interpretación estrecha de las leyes de Newton, que se aplican solo a las fuerzas lineales y al momento, lo que probablemente sea una impresión dada por un libro de texto en particular.
Tampoco permítanme que la formulación de la primera ley dada aquí (y en muchos libros de texto) sea inadecuada; hace que parezca un caso particular de la segunda ley (para aceleración cero). Lo que realmente dice la primera ley es que Existen tales marcos de referencia, donde un cuerpo, sobre el que actúa una fuerza neta cero, se moverá con una velocidad constante.. En otras palabras, postula la existencia de marcos de referencia inerciales, en los que se aplican la segunda y la tercera ley. La formulación dada en la mayoría de los libros de texto es matemáticamente equivalente, pero cambia la causa y la consecuencia.
Tiene razón en que se necesitan leyes adicionales. Esto se debe a que, como señala, desde la perspectiva del teorema de Noether, la simetría rotacional es algo distinto e irreducible por derecho propio a la simetría traslacional. Un contraejemplo simple de la reducibilidad de la simetría rotacional es la “geometría del taxi”, que es un espacio en el que, en lugar de la fórmula de la distancia,
$$ d (P, Q) = sqrt (Q_x – P_x) ^ 2 + (Q_y – P_y) ^ 2 $$
está
$$ d_T (P, Q): = | Q_x – P_x | + | Q_y – P_y | $$
dónde $ P = (P_x, P_y) $ y $ Q = (Q_x, Q_y) $ son los dos puntos que queramos considerar. Este último tiene solo un grupo de simetría rotacional finito, pero su simetría de traslación es tan buena como la geometría euclidiana.
Sin embargo, no se requieren tres leyes, aunque definitivamente es más intuitivo y natural comenzar con tal presentación. Una ley adicional es suficiente:
- Las fuerzas ejercidas por dos cuerpos entre sí actúan sólo a lo largo de la línea que los separa. [1]
Es decir, si $ mathbf F _ 12 $ es la fuerza que el cuerpo 1 ejerce sobre el cuerpo 2, que, usando el producto cruzado para verificar el paralelismo,
$$ mathbf F _ 12 times mathbf r _ 12 = mathbf 0 $$
lo que puede ver es literalmente la afirmación de que no hay torque ($ mathbf r veces mathbf F) $ en el sistema resultante de los dos cuerpos solos, es decir, no hay sistemas de auto torque. (No necesita una declaración correspondiente para $ mathbf F _ 21 $ porque la tercera ley de Newton ya restringe eso de $ mathbf F _ 12 $).
Me parece que hay una dualidad entre la mecánica lineal y la mecánica angular. El movimiento uniforme a lo largo de la circunferencia de un círculo se puede representar como una superposición de dos oscilaciones armónicas perpendiculares. Por el contrario, la oscilación armónica lineal se puede representar como una superposición de dos movimientos circulares contrarrotantes. (Por ejemplo, el movimiento de la sacudida de un péndulo de Foucault se puede representar como una superposición de soluciones para el movimiento de un péndulo cónico. En la solución matemática, el movimiento en sentido antihorario y en el sentido de las agujas del reloj tienen un período diferente, que corresponde al viraje del plano de swing.)
El siguiente diagrama expresa la primera ley de Newton y también expresa una ley de área. Newton usó esa ley del área para derivar la ley de áreas de Kepler a partir de los primeros principios.
En ausencia de cualquier fuerza neta, un objeto se moverá a lo largo de una línea recta (ABCDE), cubriendo distancias iguales en intervalos de tiempo iguales.
Además, con respecto al punto ‘S’, el objeto barre áreas iguales en intervalos de tiempo iguales.
En términos de mecánica newtoniana:
Para que exista un momento lineal, una sola dimensión espacial es suficiente, y el movimiento en tres dimensiones espaciales se puede representar como una superposición de tres movimientos, uno para cada dimensión espacial.
Para que exista un momento angular, el número mínimo de dimensiones espaciales es dos, por supuesto. El momento geométrico angular corresponde a zona.
En términos de la mecánica newtoniana, el momento angular no se puede definir en ausencia de ninguna fuerza. La configuración mínima absoluta son dos masas puntuales que ejercen una fuerza una sobre la otra, por lo que cada una provoca un cambio de movimiento de la otra. Entonces podemos señalar un solo punto que sabemos que es un punto no acelerado: el Centro Común de Masa de las dos masas puntuales. Generalización: para el momento angular, el centro de masa común de todas las masas participantes es la referencia del movimiento. Solo el momento angular con respecto al centro de masa común es consistente.
(Más allá del alcance de la mecánica newtoniana: puede ser que sea posible una teoría del movimiento en la que la dualidad traslacional / rotacional sea completa. No lo sé).
En lo que respecta a la dinámica newtoniana: prefiero pensar en términos de alguna forma de dualidad de la mecánica lineal y angular, de modo que las dos no sean independientes.
Además, estoy de acuerdo con la declaración del colaborador Vadim sobre la primera ley de Newton. Estoy de acuerdo en que, en su forma histórica, la primera ley es redundante.
En retrospectiva, sabemos que en cualquier teoría del movimiento (newtoniana, SR, GR) lo primero que se debe afirmar debe referirse a las propiedades geométricas del campo en el que se desarrolla la física.
Invertir la secuencia histórica de las teorías:
GR: la métrica del espacio-tiempo se describe mediante una solución de las ecuaciones de campo de Einstein
SR: la métrica del espacio-tiempo es la métrica de Minkowski
Newtoniano: el espacio tiene las mismas simetrías que la geometría euclidiana.
En los Principia vemos que Newton afirma inmediatamente que es válido hacer la suma de vectores (en ese entonces no se llamaba ‘suma de vectores’ todavía, pero es lo que Newton estaba haciendo / aplicando). Es decir, para formular el newtoniano mecánica hay que reconocer que la geometría euclidiana es un modelo válido para las propiedades geométricas del espacio físico.
En términos de geometría euclidiana, la simetría en rotación está implícita.
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