Solución:
Un conjunto de cocientes es lo que obtiene cuando “divide” un conjunto $ A $ por $ B subseteq A $, en el que establece todos los elementos de $ B $ en la identidad en $ A $. Por ejemplo, si $ A = Bbb Z $ y $ B = {5n mid n in Bbb Z } $, entonces estás haciendo todos los múltiplos de $ 5 $ cero para todos los efectos, por lo que el cociente es $ {0,1,2,3,4 } $.
Otra forma (y más correcta) de decir esto es que un conjunto cociente son todas las clases de equivalencia en el conjunto $ A $ bajo una relación de equivalencia dada. En el ejemplo anterior, $ aRb iff 5 | (ab) $, entonces claramente las clases de equivalencia son $ n equiv 0,1,2,3,4 pmod 5 $. En realidad, puede seleccionar cualquier número de cada clase de equivalencia, por lo que $ {20, -34,77,63, -1 } $ sería un conjunto de cocientes “correcto”, pero no canónico.
Llego muy tarde a la fiesta, pero para cualquiera que se encuentre con esto como lo hice yo, una definición simple para un conjunto cociente es “el conjunto de todas las clases de equivalencia de un conjunto bajo una relación de equivalencia dada”. Una clase de equivalencia ES lo mismo que una partición, definida mediante el uso de alguna relación de equivalencia. Pero el cociente es TODAS esas clases de equivalencia (particiones) bajo esa relación de equivalencia particular. SÍ necesita una relación de equivalencia para construir un conjunto de cocientes, razón por la cual la notación es S / ~, que se lee como “el conjunto de cocientes del conjunto S bajo la relación de equivalencia ~”.
A riesgo de simplificarlo demasiado, podría decir que el conjunto de cocientes bajo una relación de equivalencia particular es el mismo que el conjunto original, pero en particiones en lugar de todos juntos. (Esto no es estrictamente cierto, pero es una forma útil de comprender la idea básica)
Por ejemplo, digamos que el conjunto $ C $ es el conjunto de todos los coches y $ sim_c $ es una relación de equivalencia que significa “es del mismo color que”. Entonces, para algunos autos blancos $ w $ y otros autos blancos $ h $, $ w sim_ch $. Con ese tipo de relación de equivalencia, $[w]$ es la clase de equivalencia que significa “todos los autos blancos” y es una partición del conjunto de todos los autos $ C $. PS[h]$ funciona igual de bien ya que tanto $ w $ como $ h $ están en la misma clase de equivalencia. (Podrías escribir $[w]_ { sim_c} $ para ser específico sobre qué relación está usando para la clase de equivalencia) El conjunto de cocientes $ C / sim_c $ sería el conjunto de todas las clases de equivalencia en $ C $ por debajo de $ sim_c $. Es decir, es el conjunto de todas las particiones de $ C $, divididas por color. Si eres totalmente daltónico, de modo que todos los coches se ven blancos, grises o negros, entonces el conjunto de cocientes $ C / sim_c $ sería $ {[w],[g],[b]} $ (dado que $ g $ y $ b $ son autos grises y negros al igual que $ w $ es un auto blanco). Entonces, para construir un conjunto de cocientes, puede enumerar todas las posibles clases de equivalencia O generalizarlo con la notación de conjunto: $$ C / sim_c = {[x]_ { sim_c} mid x en C } $$
Dado que cada clase de equivalencia en este contexto representa todos los coches con un color específico y el conjunto de cocientes contiene todos los grupos de colores (por definición), el conjunto de cocientes en última instancia, todavía representa el mismo grupo de objetos. Si tuvieras que visualizar esto, verías todos los autos del mundo reunidos en diferentes grupos por color en lugar de todos en un solo montón. Hablando más estrictamente, el conjunto de cocientes es más como una lista de los grupos que una lista de todos los autos en los grupos (después de todo, los elementos en $ C $ son autos, pero los elementos en $ C / sim_C $ son conjuntos de carros). Escritura $[w]$ es como decir “todos los coches con el mismo color que este $ w $ uno” o “el color de este coche es lo que quiero decir con ‘blanco'” (el primero es más matemáticamente correcto, pero el segundo tiene más sentido contextual con el ejemplo)
Espero que ayude a visualizar a fondo el concepto. En general, un conjunto de cocientes difiere de una partición en que un conjunto de cocientes contiene particiones como elementos, y esas particiones se definen mediante una relación de equivalencia. Los dos son definitivamente distintos.