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Solución:
Suponiendo que $m > 1$ y $a_ii$ no son negativos, use los exponentes conjugados $m$ y $m/(m-1)$ en la desigualdad de Hölder para obtener
$$sum_i = 1^n a_ii le left(sum_i = 1^n 1^m/(m-1)right)^(m-1) /m left(sum_i = 1^n a_ii^mright)^1/m = n^(m-1)/mleft(sum_i = 1^n a_ii^mright)^1/m$$
La desigualdad se obtiene entonces elevando a la $m$ésima potencia.
La desigualdad de Holder en forma discreta es la siguiente.
Sean $a_1$, $a_2$,…,$a_n$, $b_1$, $b_2$,…,$b_n$, $alpha$ y $beta$ positivos. Demostrar que: $$(a_1+a_2+…+a_n)^alpha(b_1+b_2+…+b_n)^betageqleft(left(a_1^alphab_1 ^betaright)^frac1alpha+beta+left(a_2^alphab_2^betaright)^frac1 alfa+beta+…+left(a_n^alphab_n^betaright)^frac1alpha+betaright)^alpha+ beta$$
Es solo la homogeneización de la desigualdad de Jensen para $f(x)=x^k$, donde $k>1$.
Ahora por Holder obtenemos: $$n^m-1sumlimits_i=1^na_ii^m=left(sumlimits_i=1^n1right)^ m-1sumlimits_i=1^na_ii^mgeqleft(sumlimits_i=1^nleft(1^m-1a_ii ^mright)^frac1mright)^m=left(sumlimits_i=1^na_iiright)^m$$
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