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Solución:
Si $a$ y $b$ tienen el mismo signo distinto de cero, entonces
$$a frac 1b$$
(es decir, tomar recíprocos invierte la desigualdad).
Si $a$ y $b$ tienen signos opuestos (distintos de cero), entonces
$$a (es decir, tomar recíprocos preserva la desigualdad).
Estos se derivan del hecho de que la función $f(x)=1/x$ definido en los reales distintos de cero es estrictamente decreciente y conserva el signo en cada componente $(-infty,0)$ y $(0,infty)$ de su dominio.
si cualquiera de $a$ o $b$ es cero, entonces no puedes tomar recíprocos.
Finalmente, las desigualdades compuestas como $a debe separarse en “$a y $by cada componente considerado por separado.
También comento que no es lo mismo invertir una suma que invertir los sumandos por separado.
Depende si $x$ y $y$ son del mismo signo.
Caso 1: $0 < x < y$ entonces $0 < x(1/y) < y(1/y)$ y $0 < x/y < 1$ y $0 < x/y(1/x) < 1 (1 /x)$ entonces $0 < 1/y < 1/x$.
Si ambos son positivos, voltea.
Caso 2: $x < 0 < y$ entonces $x/y < 0 < 1$. Entonces como $x < 0$ we flip when we do $x/y*(1/x) > 0 > 1*(1/x)$ entonces $ 1/y > 0 > 1/x$ entonces $1/x < 0 < 1/y$. No voltees.
Caso 3: $x < y < 0$ then $x/y > 1 > 0$ y $1/y < 1/x < 0$. Voltear si son del mismo signo.
Pero ¡¡¡¡¡¡¡POR EL AMOR DE DIOS!!!!!!! el recíproco de $1/x – 1/4$ es !!!!!!!¡¡¡¡¡¡NO!!!!!! $x/1 – 4/1$!!!!!!!!
Es $frac11/x – 1/4 = frac4x4 – x$.
Si tienes $$x>yqquad (1)$$ Entonces solo tienes que voltear la desigualdad cuando tomas el recíproco si $x$ y $y$ son del mismo signo. Observe que esto se debe a que podemos multiplicar ambos lados de $(1)$ por $(xy)^-1$ para obtener $$fracxxy>fracyxyquad rightarrow quadfrac1y>frac1x$$ Lo que naturalmente invierte los signos, sin embargo, si $(xy)^-1$ es negativo (lo que ocurre cuando $x $ y $y$ son signos diferentes), entonces tenemos que invertir el signo de desigualdad porque multiplicamos por un número negativo.
Tenga en cuenta, sin embargo, que en su pregunta usó mal el recíproco. $$frac1x-frac14=frac4-x4x$$ Que tiene recíproco $frac4x4-x$. También puede aplicar esto a una desigualdad de “múltiples etapas” dividiéndola en una serie de desigualdades de la forma $(1)$.
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