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Solución:
He notado que la respuesta ha sido escrita en los comentarios. Solo para tener una respuesta, estoy escribiendo esta.
Considere $|u+v|^2=(u+v) cdot (u+v)$ donde $u cdot v$ representa el producto interno estándar/producto escalar. Por lo tanto, $$|u+v |^2=|u|^2+2 (u cdot v) + |v|^2 .$$
Por la Desigualdad de Cauchy-Schwarz tenemos $$u cdot v leq |u| cdot |v|.$$
Entonces, $$|u+v |^2= |u|^2+2(u cdot v)+ |v |^2 leq |u|^2+ 2 | tu| cdot |v| + |v|^2=(|u|+ |v|)^2 ,$$ es decir, $$|u+v|^2 leq (|u|+ |v|)^2 implica |u+v| leq |u |+ |v| .$$
La Desigualdad de Cauchy-Schwarz se cumple para cualquier Producto interno, por lo que la desigualdad del triángulo se cumple independientemente de cómo defina la norma del vector, es decir, la forma en que defina el producto escalar en ese espacio vectorial.
En este caso, la igualdad se cumple cuando los vectores son paralelos, es decir, $u=kv$, $k in mathbbR^+$ porque $u cdot v= |u | cdot |v| cos theta$ cuando $cos theta=1$, se cumple la igualdad de la desigualdad de Cauchy-Schwarz.