Eliana, parte de este staff, nos ha hecho el favor de escribir este enunciado porque conoce a la perfección este tema.
Solución:
Escribamos $$L^-1=[y_1:cdots:y_n],$$ donde cada $y_k$ es una matriz $ntimes 1$.
Ahora, por definición, $$LL^-1=I=[e_1:cdots:e_n],$$ donde $e_k$ es la matriz $ntimes 1$ con $1$ en la $k$ésima fila y $0$s en todas partes. Observe, sin embargo, que $$LL^-1=L[y_1:cdots:y_n]=[Ly_1:cdots: Ly_n],$$ entonces $$Ly_k=e_kqquad(1leq kleq n)$$
Por la proposición, dado que $e_k$ tiene solo $0$s por encima de la $k$ésima fila y $L$ es triangular inferior y $Ly_k=e_k$, entonces $y_k$ tiene solo $0$s por encima de la $k$ésima fila . Esto es true para todo $1leq kleq n$, entonces como $$L^-1=[y_1:cdots:y_n],$$ entonces $L^-1$ también es triangular inferior.
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Aquí hay un enfoque alternativo (pero relacionado).
Observe que una matriz triangular inferior es no singular si y solo si tiene todas las entradas distintas de cero en la diagonal. Procedamos por inducción sobre $n$. El caso base ($n=1$) es simple, ya que todos los escalares son trivialmente “triangulares inferiores”. Ahora, supongamos que todas las matrices triangulares inferiores $ntimes n$ no singulares tienen inversas triangulares inferiores, y sea $A$ cualquier matriz triangular inferior $(n+1)times(n+1)$ no singulares. Entonces, en forma de bloque, tenemos $$A=left[beginarraycL & 0_n\hline x^T & alphaendarrayright],$$ donde $L$ es una matriz triangular inferior $ntimes n$ no singular, $0_n$ es la matriz $ntimes 1$ de $0$s, $x$ es una matriz $ntimes 1$, y $alpha$ es algún escalar distinto de cero. (¿Puedes ver por qué esto es true?) Ahora, en forma de bloque compatible, tenemos $$A^-1=left[beginarraycM & b\hline y^T & betaendarrayright],$$ donde $M$ es una matriz $ntimes n$, $b,y$ son matrices $ntimes 1$ y $beta$ algunos escalares. Si $I_n$ y $I_n+1$ denotan las matrices de identidad $ntimes n$ y $(n+1)times(n+1)$, respectivamente, tenemos $$I_n+1 =izquierda[beginarraycI_n & 0_n\hline 0_n^T & 1endarrayright].$$ Por lo tanto, $$left[beginarraycI_n & 0_n\hline 0_n^T & 1endarrayright]=I_n+1=A^-1A=izquierda[beginarraycML+by^T & M0_n+balpha\hline x^TM+alpha y^T & y^T0_n+betaalphaendarrayright]=izquierda[beginarraycML+by^T & alpha b\hline x^TM+alpha y^T & betaalphaendarrayright].$$ Dado que $alpha$ es un escalar distinto de cero y $alpha b=0_n$, entonces debemos tener $b=0_n$. Por lo tanto, $$A^-1=left[beginarraycM & 0_n\hline y^T & betaendarrayright],$$ y $$izquierda[beginarraycI_n & 0_n\hline 0_n^T & 1endarrayright]=izquierda[beginarraycML & 0_n\hline x^TM+alpha y^T & betaalphaendarrayright].$$ Como $ML=I_n$, entonces $M=L^-1$, y por hipótesis inductiva, tenemos que $M$ es entonces triangular inferior. Por lo tanto, $$A^-1=left[beginarraycM & 0_n\hline y^T & betaendarrayright]$$ también es triangular inferior, como se desee.
Suponga que tiene una matriz triangular inferior invertible $L$. Para encontrar su inversa, debe resolver la ecuación matricial $LX = I$, donde $I$ denota la matriz identidad $n$ por $n$.
Según cómo funciona la multiplicación de matrices, la columna $i^textth$ de $LX$ es igual a $L$ por la columna $i^textth$ de $X$. Para que $LX = I$, debe ser que las primeras entradas $i-1$ en la columna $i^textth$ de $LX$ sean todas cero. La sugerencia es que puede probar que esto implica que las primeras entradas $i-1$ en la columna $i^textth$ de $X$ deben ser todas cero. Para hacer esto, puede escribir explícitamente su cálculo, utilizando su suposición de que $L$ es triangular inferior. Obtendrá un sistema de ecuaciones lineales bastante fácil de analizar.
En forma simple, podemos escribir A = D*(I+L); donde A es la matriz triangular inferior, D es la matriz diagonal, I es la matriz identidad y L es la matriz triangular inferior con todos ceros en diagonal. Dado que $A^-1 = (I+L)^-1*D^-1$ y el inverso de D es simplemente el inverso del elemento diagonal. Y para n muy grande $L^-n = 0$ ya que solo tiene elementos triangulares inferiores. Y podemos escribir $(I+L)^-1 = I – L + L^2 – L^3 + …. (-1)^n*L^n$ que a su vez es una matriz triangular inferior.
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