Miranda, miembro de este equipo de trabajo, nos ha hecho el favor de crear esta reseña porque domina perfectamente dicho tema.
Solución:
Quiero darle crédito a gmatt por esto porque ha hecho mucho del trabajo. La única diferencia en nuestras respuestas es la ecuación de x.
Para hacer el mapeo inverso de esfera a cubo, primero determine la cara del cubo a la que se proyecta el punto de esfera. Este paso es simple: simplemente encuentre el componente del vector de esfera con la mayor longitud así:
// map the given unit sphere position to a unit cube position
void cubizePoint(Vector3& position)
double x,y,z;
x = position.x;
y = position.y;
z = position.z;
double fx, fy, fz;
fx = fabsf(x);
fy = fabsf(y);
fz = fabsf(z);
if (fy >= fx && fy >= fz)
if (y > 0)
// top face
position.y = 1.0;
else
// bottom face
position.y = -1.0;
else if (fx >= fy && fx >= fz)
if (x > 0)
// right face
position.x = 1.0;
else
// left face
position.x = -1.0;
else
if (z > 0)
// front face
position.z = 1.0;
else
// back face
position.z = -1.0;
Para cada cara: tome los componentes restantes del vector cúbico indicados como syt y resuélvalos usando estas ecuaciones, que se basan en los componentes restantes del vector esfera indicados como ayb:
s = sqrt(-sqrt((2 a^2-2 b^2-3)^2-24 a^2)+2 a^2-2 b^2+3)/sqrt(2)
t = sqrt(-sqrt((2 a^2-2 b^2-3)^2-24 a^2)-2 a^2+2 b^2+3)/sqrt(2)
Debería ver que la raíz cuadrada interna se usa en ambas ecuaciones, así que solo haga esa parte una vez.
Aquí está la función final con las ecuaciones incluidas y verifica 0.0 y -0.0 y el código para establecer correctamente el signo del componente del cubo; debe ser igual al signo del componente de la esfera.
void cubizePoint2(Vector3& position)
{
double x,y,z;
x = position.x;
y = position.y;
z = position.z;
double fx, fy, fz;
fx = fabsf(x);
fy = fabsf(y);
fz = fabsf(z);
const double inverseSqrt2 = 0.70710676908493042;
if (fy >= fx && fy >= fz)
else if (fx >= fy && fx >= fz)
else y == -0.0)
position.y = 0.0;
else
position.y = sqrtf(innersqrt - a2 + b2 + 3.0) * inverseSqrt2;
if(position.x > 1.0) position.x = 1.0;
if(position.y > 1.0) position.y = 1.0;
if(x < 0) position.x = -position.x;
if(y < 0) position.y = -position.y;
if (z > 0)
// front face
position.z = 1.0;
else
// back face
position.z = -1.0;
Por lo tanto, esta solución no es tan bonita como el mapeo de cubo a esfera, ¡pero hace el trabajo!
Se agradece cualquier sugerencia para mejorar la eficiencia o la capacidad de lectura del código anterior.
— editar — Debo mencionar que he probado esto y hasta ahora en mis pruebas el código parece correcto y los resultados son precisos al menos hasta el séptimo lugar decimal. Y eso fue de cuando estaba usando flotadores, probablemente ahora sea más preciso con dobles.
— editar — Aquí hay una versión optimizada del sombreador de fragmentos glsl de Daniel para mostrar que no tiene por qué ser una función tan aterradora. ¡Daniel usa esto para filtrar el muestreo en mapas de cubos! ¡Gran idea!
const float isqrt2 = 0.70710676908493042;
vec3 cubify(const in vec3 s)
float xx2 = s.x * s.x * 2.0;
float yy2 = s.y * s.y * 2.0;
vec2 v = vec2(xx2 – yy2, yy2 – xx2);
float ii = v.y – 3.0;
ii *= ii;
float isqrt = -sqrt(ii – 12.0 * xx2) + 3.0;
v = sqrt(v + isqrt);
v *= isqrt2;
return sign(s) * vec3(v, 1.0);
vec3 sphere2cube(const in vec3 sphere)
vec3 f = abs(sphere);
bool a = f.y >= f.x && f.y >= f.z;
bool b = f.x >= f.z;
return a ? cubify(sphere.xzy).xzy : b ? cubify(sphere.yzx).zxy : cubify(sphere);
Después de un poco de reorganización, puede obtener los formularios “agradables”
(1) 1/2 z^2 = (alpha) / ( y^2 - x^2) + 1
(2) 1/2 y^2 = (beta) / ( z^2 - x^2) + 1
(3) 1/2 x^2 = (gamma) / ( y^2 - z^2) + 1
dónde alpha = sx^2-sy^2 , beta = sx^2 - sz^2 y gamma = sz^2 - sy^2. Verifíquelo usted mismo.
Ahora no tengo la motivación ni el tiempo, pero a partir de este punto es bastante sencillo de resolver:
-
Sustituya (1) en (2). Reorganice (2) hasta obtener una ecuación polinomial (raíz) de la forma
(4) a(x) * y^4 + b(x) * y^2 + c(x) = 0esto se puede resolver usando la fórmula cuadrática para
y^2. Tenga en cuenta quea(x),b(x),c(x)son algunas funciones dex. La fórmula cuadrática produce 2 raíces para (4) que tendrás que tener en cuenta. -
Usando (1), (2), (4) calcule una expresión para
z^2en términos de solox^2. -
Usando (3) escriba una ecuación de raíz polinomial de la forma:
(5) a * x^4 + b * x^2 + c = 0dónde
a,b,cno son funciones sino constantes. Resuelve esto usando la fórmula cuadrática. En total, tendrá 2 * 2 = 4 posibles soluciones parax^2,y^2,z^2par, lo que significa que tendrá 4 * 2 = 8 soluciones totales para posiblesx,y,zpares que satisfacen estas ecuaciones. Consultar condiciones en cadax,y,zemparejar y (con suerte) eliminar todos menos uno (de lo contrario, no existe un mapeo inverso).
Buena suerte.
PD. Bien puede ser que el mapeo inverso no exista, piensa en la geometría: la esfera tiene superficie 4*pi*r^2 mientras que el cubo tiene un área de superficie 6*d^2=6*(2r)^2=24r^2 así que intuitivamente tienes muchos más puntos en el cubo que se asignan a la esfera. Esto significa un mapeo de muchos a uno, y dicho mapeo no es inyectivo y por lo tanto no es biyectivo (es decir, el mapeo no tiene inverso). Lo siento, pero creo que no tienes suerte.
—– editar ————–
si sigue los consejos de MO, establezca z=1 significa que estás mirando el cuadrado sólido en el plano z=1.
Utilice sus dos primeras ecuaciones para resolver para x, y, wolfram alfa da el resultado:
x = (sqrt(6) s^2 sqrt(1/2 (sqrt((2 s^2-2 t^2-3)^2-24 t^2)+2 s^2-2 t^2-3)+3)-sqrt(6) t^2 sqrt(1/2 (sqrt((2 s^2-2 t^2-3)^2-24 t^2)+2 s^2-2 t^2-3)+3)-sqrt(3/2) sqrt((2 s^2-2 t^2-3)^2-24 t^2) sqrt(1/2 (sqrt((2 s^2-2 t^2-3)^2-24 t^2)+2 s^2-2 t^2-3)+3)+3 sqrt(3/2) sqrt(1/2 (sqrt((2 s^2-2 t^2-3)^2-24 t^2)+2 s^2-2 t^2-3)+3))/(6 s)
y
y = sqrt(-sqrt((2 s^2-2 t^2-3)^2-24 t^2)-2 s^2+2 t^2+3)/sqrt(2)
donde arriba yo uso s=sx y t=sy, y usaré u=sz. Entonces puedes usar la tercera ecuación que tienes para u=sz. Es decir, digamos que desea mapear la parte superior de la esfera al cubo. Entonces para cualquier 0 <= s,t <= 1 (dónde s,t están en el marco de coordenadas de la esfera) luego la tupla (s,t,u) mapas a (x,y,1) (aquí x,y están en el marco de coordenadas de los cubos.) Lo único que queda es que averigües qué u es. Puedes resolver esto usando s,t para resolver x,y luego usando x,y para resolver u.
Tenga en cuenta que esto solo mapeará la parte superior del cubo a solamente el plano superior del cubo z=1. Tendrá que hacer esto para los 6 lados (x=1, y=1, z=0 ... etc). Sugiero usar wolfram alfa para resolver las ecuaciones resultantes que obtienes para cada sub-caso, porque serán tan feos o más feos como los anteriores.
Si te gusta el tema, tienes la libertad de dejar una división acerca de qué te ha gustado de este enunciado.