La guía o código que encontrarás en este artículo es la resolución más rápida y efectiva que hallamos a esta inquietud o dilema.
Solución:
Creo que lo que estás buscando a veces se conoce como
embalaje esférico o un código esférico. Aquí está el artículo de MathWorld sobre el tema. Aquí está la página web de Neil Sloane sobre el tema, que incluye “empaquetamientos óptimos putativos” hasta $n=130$ esferas Consulte también la secuencia entera A126195 para los “Valores conjeturados para el número máximo de esferas sólidas de radio 1 que se pueden rodar en contacto con y sobre la superficie exterior de una esfera de radio $n$.”
Hay límites, pero ningún “resultado analítico” del tipo que podría estar esperando.
Apéndice tangencial. Hay una variante interesante del número de besos que empaquetan esferas que parece poco conocida, y para la cual los límites son lo suficientemente amplios como para invitar a seguir trabajando. Se llama El problema de Hornich: ¿Cuál es el menor número de bolas unitarias cerradas que no se superponen que pueden ocultar radialmente una bola unitaria? $B$en el sentido de que cada rayo desde el centro de $B$ interseca al menos una de las bolas circundantes? En $matemáticasR^3$, se sabe que se necesitan por lo menos 30 bolas y 42 son suficientes. ¡Tan diferente al beso número 12!
Descrito en la p.117 de
Problemas de investigación en geometría discretaBrass, Peter, Moser, William OJ, Pach, János, 2005. (Enlace del libro de Springer).
Este problema ha sido estudiado por muchas personas en un entorno general de cuerpos convexos.
Dado un cuerpo convexo $K$ en $matemáticas R^d$ y un $alfa > 0$encuentre el número máximo $H_alfa(K)$ de traducciones no superpuestas de $alfa K$ tocando k
$H_alfa(K)$ se refiere a menudo como el número generalizado de Hadwiger (o el número generalizado de besos).
L. Fejes Tóth estudió las asintóticas de $H_alfa(K)$ para politopos en la década de 1970. Su resultado fue extendido al caso general por K. Böröczky Jr., D. Larman, S. Sezgin y C. Zong (“Sobre números de besos generalizados y números de bloqueo”, Rend. Circ. Mat. Palermo, 65 (2000) , pp. 39-57) quien demostró que $$H_alpha(K)sim fracCalpha^d-1$$ para cualquier cuerpo convexo $Ksubconjuntomathbb R^d$. El constante $C$ puede calcularse más o menos explícitamente en términos de $K$.
Asumiendo wlog que $r_1=1$, uno puede adivinar el comportamiento asintótico del número que se besa como $r_2to 0$ como una función $f(r_2)$. Considere una proyección radial de las bolas más pequeñas sobre la superficie de la bola grande (cerrada) (donde la proyección está en el centro de la bola grande). Como $r_2to 0$, esta proyección se aproximará localmente a un empaquetamiento de discos en el plano, y la densidad de la proyección de un empaquetamiento óptimo debería aproximarse a la densidad de un empaquetamiento óptimo de discos unitarios en el plano. Se sabe que esta densidad es $fracpi2sqrt3$. Dado que la proyección de cada bola pequeña cubre un área de superficie de aproximadamente $pi r_kern-1pt2^2$ de la unidad de bola, y la unidad de bola tiene un área de superficie de $4pi$, deberíamos tener para $ muy pequeños r_2$ $$ f(r_2)pi r_kern-1pt2^2 approx fracpi2sqrt34pi~, $$ o $$ lim_r_2 a 0 ~f(r_2) = frac2pisqrt3cdot r_kern-1pt2^2~. $$