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Solución:
Necesitas escribir ecuaciones paramétricas para el círculo. Luego puede calcular varias derivadas y aplicar las fórmulas que citó.
Establezca un sistema de coordenadas que tenga su origen en el centro de la esfera y su eje $z$ positivo que pase por el centro del círculo.
Supongamos que la esfera tiene radio $a$ y el círculo tiene radio $r$, donde $r le a$. Entonces el círculo se encuentra en el plano $z=h$, donde $h = sqrta^2 – r^2$, y una parametrización de velocidad unitaria es beginalign x &= r cos( theta/r) \ y &= rsin(theta/r) \ z &= h = sqrta^2 – r^2 endalign Entonces, tenemos $$ gamma( theta) = left(r cosfracthetar, ; r sinfracthetar, ; sqrta^2 – r^2right ) $$ $$ gamma'(theta) = left(- sinfracthetar, ; cosfracthetar, ; 0right) $ $ $$ gamma”(theta) = left(-frac1r cosfracthetar, ; -frac1r sin fracthetar, ; 0right) $$ La superficie normal $mathbfN$ en el punto $gamma(theta)$ es simplemente $gamma(theta)/a$ , entonces $$ mathbfN(theta) = left(fracra cosfracthetar, ; fracra sin fracthetar, ; fracsqrta^2 – r^2a right) $$ Entonces un cálculo directo muestra que $$ kappa_g = gamma” cdot (mathbfNtimes gamma ‘) = frachra = fracsqrta^2 – r^2ra $$ El resultado es realmente más fácil de obtener de la segunda fórmula para $kappa_g$. Los vectores $mathbfN$ y $mathbfn$ se muestran en la imagen del OP, y $psi$ es el ángulo entre ellos. El ángulo complementario $pi- psi$ se encuentra en el triángulo de lados $a$, $h$, $r$, lo que nos da $sin(pi – psi) = textopuesto /texthipotenusa = h/a$. Entonces $sinpsi = sin(pi – psi) = h/a$. Obviamente $kappa = 1/r$, entonces $$ kappa_g = kappa, sinpsi = frac1rfracha = frachra = fracsqrta^2 – r^2ra $$
Para una perspectiva más intrínseca, parametrice la esfera como $$varphi(u,v)=(sin(u)cos(v),sin(u)sin(v),cos(u)), $$
de modo que los coeficientes de la primera fundamental para son $E=1$, $F=0$ y $G=sin^2(u)$. Entonces, un círculo de latitud en la esfera es una curva $v$ asociada con esta parametrización y, por lo tanto, se puede parametrizar como $$alpha_v(t)=varphi(u_0,t)=(sin(u_0)cos( t),sin(u_0)sin(t),cos(u_0)),$$ con $0
La derivación de la curvatura geodésica es correcta. Intentaré poner todo hasta ahora en una sola perspectiva.
La curvatura total tiene dos componentes ortogonales, normal y geodésica: $ k_n, k_g. PS
Las curvaturas normales/ geodésicas son: $k_n = 1/ a, k_g = 1/ R_g, $ Latitud $ lambda ( psi) = tan^-1 dfrack_gk_n. PS
La curvatura geodésica para cualquier superficie de revolución es el recíproco de la longitud de la tangente hasta el eje de simetría, como se muestra.
