Solución:
Entonces, comencemos con su última pregunta, informalmente, el radio de curvatura es una medida de cuánto una determinada curva es puntiaguda y tiene esquinas afiladas. Dada una curva $ y $, puede calcular su radio de curvatura usando esta fórmula:
$$ dfrac { left[1+left(dfrac{dy}{dx}right)^2right]^ dfrac {3} {2}} { left | dfrac {d ^ 2y} {dx ^ 2} right |} $$
Puede preguntar qué tienen que ver los radios de los círculos con la curvatura, por lo que vale la pena explicarlo. Esta es una parábola:
Como puede ver, los lados de la parábola son bastante planos, mientras que su vértice y la región circundante (es decir, en $ x = 0 $) tienen una esquina relativamente afilada.
Entonces, la pregunta es cómo describir matemáticamente esta propiedad.
Bueno, una forma de hacerlo es usando círculos. La parte de la curva que es bastante plana puede considerarse una sección de un círculo realmente grande (como se muestra en la imagen), este círculo tiene un radio grande y, por lo tanto, decimos que esta parte de la curva tiene un radio de curvatura grande, es decir, es muy plano.
Por otro lado, el vértice de la parábola y la región circundante son relativamente afilados y puntiagudos, por lo que notará que se necesita un círculo con un radio pequeño para encajar en esta sección nerviosa de la parábola, decimos que esta región tiene un radio pequeño de curvatura.
También notará que, el radio de curvatura de una curva, cambia de un punto en la curva a otro, también notará que, cuando la región es plana, la tasa de cambio del radio de curvatura es pequeña ( puede usar una pequeña cantidad de círculos enormes para describir una región plana), mientras que se necesitan muchos círculos con radios pequeños para describir una esquina pronunciada y, por lo tanto, la tasa de cambio del radio de curvatura es excelente en estas regiones.
¿Cómo puede una parábola tener un centro desde el cual se va a medir el radio?
No, no es así, pero todos los puntos de la parábola y la región circundante pueden considerarse como parte de un círculo con cierto radio.
¿El radio de curvatura cambia con la posición del cuerpo (en movimiento de proyectil)?
Sí, como se indicó anteriormente, el radio de curvatura cambia de un punto a otro en una curva, ya que la trayectoria del proyectil se puede modelar como su posición en una parábola, por lo tanto, el radio de curvatura cambiará con el cambio de posición del proyectil. .